Математический анализ Примеры

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} < 1$

Этап 1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 < 0$

Этап 2

Упростим $\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} - 1 \cdot \frac{2 - x}{2 - x} < 0$

Этап 2.2

Объединим $- 1$ и $\frac{2 - x}{2 - x}$ .

$\frac{| 2 x - 1 |}{2 - x} + \frac{- (2 - x)}{2 - x} < 0$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{| 2 x - 1 | - (2 - x)}{2 - x} < 0$

Этап 2.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{| 2 x - 1 | - 1 \cdot 2 - - x}{2 - x} < 0$

Этап 2.4.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 - - x}{2 - x} < 0$

Этап 2.4.3

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + 1 x}{2 - x} < 0$

Этап 2.4.3.2

Умножим $x$ на $1$ .

$\frac{| 2 x - 1 | - 2 + x}{2 - x} < 0$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x} < 0$

Этап 3

Найдем все значения, где выражение переменяет знак с отрицательного на положительный. Для этого приравняем каждый множитель к $0$ и решим.

$x + | 2 x - 1 | - 2 = 0$

$2 - x = 0$

Этап 4

Перенесем все члены без $| 2 x - 1 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$| 2 x - 1 | - 2 = - x$

Этап 4.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$| 2 x - 1 | = - x + 2$

Этап 5

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 x - 1 = \pm (- x + 2)$

Этап 6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$2 x - 1 = - x + 2$

Этап 6.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$2 x - 1 + x = 2$

Этап 6.2.2

Добавим $2 x$ и $x$ .

$3 x - 1 = 2$

Этап 6.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 2 + 1$

Этап 6.3.2

Добавим $2$ и $1$ .

$3 x = 3$

Этап 6.4

Разделим каждый член $3 x = 3$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Разделим каждый член $3 x = 3$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{3}{3}$

Этап 6.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{3}$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Разделим $3$ на $3$ .

$x = 1$

Этап 6.5

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Этап 6.6

Упростим $- (- x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Перепишем.

$2 x - 1 = 0 + 0 - (- x + 2)$

Этап 6.6.2

Упростим путем добавления нулей.

$2 x - 1 = - (- x + 2)$

Этап 6.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x - 1 = - - x - 1 \cdot 2$

Этап 6.6.4

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 x - 1 = 1 x - 1 \cdot 2$

Этап 6.6.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$2 x - 1 = x - 1 \cdot 2$

Этап 6.6.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 x - 1 = x - 2$

Этап 6.7

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$2 x - 1 - x = - 2$

Этап 6.7.2

Вычтем $x$ из $2 x$ .

$x - 1 = - 2$

Этап 6.8

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = - 2 + 1$

Этап 6.8.2

Добавим $- 2$ и $1$ .

$x = - 1$

Этап 6.9

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 7

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 8

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 8.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 9

Решим для каждого множителя, чтобы найти значения, при которых выражение абсолютного значения переходит от отрицательного значения к положительному.

$x = 1, - 1$

$x = 2$

Этап 10

Объединим решения.

$x = 1, - 1, 2$

Этап 11

Найдем область определения $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Зададим знаменатель в $\frac{x + | 2 x - 1 | - 2}{2 - x}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$2 - x = 0$

Этап 11.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- x = - 2$

Этап 11.2.2

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Разделим каждый член $- x = - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 11.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 11.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 1}$

Этап 11.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.3.1

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$x = 2$

Этап 11.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 12

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$1 < x < 2$

$x > 2$

Этап 13

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проверим значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Выберем значение на интервале $x < - 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 13.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$\frac{| 2 (- 4) - 1 |}{2 - (- 4)} < 1$

Этап 13.1.3

Левая часть $1.5$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 13.2

Проверим значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Выберем значение на интервале $- 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 13.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$\frac{| 2 (0) - 1 |}{2 - (0)} < 1$

Этап 13.2.3

Левая часть $0.5$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.3

Проверим значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Выберем значение на интервале $1 < x < 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1.5$

Этап 13.3.2

Заменим $x$ на $1.5$ в исходном неравенстве.

$\frac{| 2 (1.5) - 1 |}{2 - (1.5)} < 1$

Этап 13.3.3

Левая часть $4$ не меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 13.4

Проверим значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Выберем значение на интервале $x > 2$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 13.4.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$\frac{| 2 (4) - 1 |}{2 - (4)} < 1$

Этап 13.4.3

Левая часть $- 3.5$ меньше правой части $1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 13.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

$x < - 1$ Ложь

$- 1 < x < 1$ Истина

$1 < x < 2$ Ложь

$x > 2$ Истина

Этап 14

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- 1 < x < 1$ или $x > 2$

Этап 15

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- 1 < x < 1 or x > 2$

Интервальное представление:

$(- 1, 1) \cup (2, \infty)$

Этап 16