Математический анализ Примеры

$x^{2} y^{3} - 2 x y = 6 x + y + 1$

Этап 1

Вычтем $6 x$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x = y + 1$

Этап 2

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y = 1$

Этап 2.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x^{2} y^{3} - 2 x y - 6 x - y - 1 = 0$

Этап 3

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 4

Подставим значения $a = y^{3}$ , $b = - 2 y - 6$ и $c = - y - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- (- 2 y - 6) \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{- (- 2 y) + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Этап 5.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Этап 5.3

Умножим $- 1$ на $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot y^{3} \cdot (- y - 1)}}{2 y^{3}}$

Этап 5.4

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{{(- 2 y - 6)}^{2} - 4 \cdot (y^{3} \cdot (- y - 1))}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5

Пусть $u = y^{3} \cdot (- y - 1)$ . Подставим $u$ вместо $y^{3} \cdot (- y - 1)$ для всех.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем ${(- 2 y - 6)}^{2}$ в виде $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{(- 2 y - 6) (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5.2

Развернем $(- 2 y - 6) (- 2 y - 6)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y - 6) - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y - 6) - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 y (- 2 y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y \cdot y) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 (y \cdot y)) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{- 2 \cdot (- 2 y^{2}) - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5.3.1.3

Умножим $- 2$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} - 2 y \cdot - 6 - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5.3.1.4

Умножим $- 6$ на $- 2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y - 6 (- 2 y) - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5.3.1.5

Умножим $- 2$ на $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y - 6 \cdot - 6 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5.3.1.6

Умножим $- 6$ на $- 6$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 12 y + 12 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.5.3.2

Добавим $12 y$ и $12 y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 \cdot u}}{2 y^{3}}$

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.6

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2} + 24 y + 36 - 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $4$ из $4 y^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 24 y + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.6.2

Вынесем множитель $4$ из $24 y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 36 - 4 u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.6.3

Вынесем множитель $4$ из $36$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) - 4 u}}{2 y^{3}}$

Этап 5.6.4

Вынесем множитель $4$ из $- 4 u$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2}) + 4 (6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Этап 5.6.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (y^{2}) + 4 (6 y)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Этап 5.6.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (y^{2} + 6 y) + 4 (9)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)}}{2 y^{3}}$

Этап 5.6.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (y^{2} + 6 y + 9) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - u)}}{2 y^{3}}$

Этап 5.7

Заменим все вхождения $u$ на $y^{3} \cdot (- y - 1)$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} \cdot (- y - 1)))}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (y^{3} (- y) + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y + y^{3} \cdot - 1))}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.3

Перенесем $- 1$ влево от $y^{3}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{3} y - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1

Умножим $y^{3}$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.1

Перенесем $y$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.4.1.2

Умножим $y$ на $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.4.1.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- (y \cdot y^{3}) - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.4.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{1 + 3} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.4.1.3

Добавим $1$ и $3$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - 1 \cdot y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.4.2

Перепишем $- 1 y^{3}$ в виде $- y^{3}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 - (- y^{4} - y^{3}))}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.5

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.6

Умножим $- - y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + 1 y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.6.2

Умножим $y^{4}$ на $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.7

Умножим $- - y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + 1 y^{3})}}{2 y^{3}}$

Этап 5.8.7.2

Умножим $y^{3}$ на $1$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{2} + 6 y + 9 + y^{4} + y^{3})}}{2 y^{3}}$

Этап 5.9

Изменим порядок членов.

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Этап 5.10

Перепишем $4 (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ в виде $2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.10.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} (y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Этап 5.10.2

Перепишем $y^{4}$ в виде ${(y^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm \sqrt{2^{2} ({(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9)}}{2 y^{3}}$

Этап 5.11

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{{(y^{2})}^{2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Этап 5.12

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{2 \cdot 2} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Этап 5.12.2

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{2 y + 6 \pm 2 \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{2 y^{3}}$

Этап 6

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{y + 3 + \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$

$x = \frac{y + 3 - \sqrt{y^{4} + y^{3} + y^{2} + 6 y + 9}}{y^{3}}$