Математический анализ Примеры

$\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{13}{6}$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$x - 1, x + 1, 6$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

У $6$ есть множители: $2$ и $3$ .

$2 \cdot 3$

Этап 1.5

Умножим $2$ на $3$ .

$6$

Этап 1.6

Множителем $x - 1$ является само значение $x - 1$ .

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

Множителем $x + 1$ является само значение $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.8

НОК $x - 1, x + 1$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(x - 1) (x + 1)$

Этап 1.9

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$6 (x - 1) (x + 1)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{13}{6}$ умножим на $6 (x - 1) (x + 1)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x + 1}{x - 1} + \frac{x - 1}{x + 1} = \frac{13}{6}$ на $6 (x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{x + 1}{x - 1} (6 (x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 \frac{x + 1}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.2

Объединим $6$ и $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$\frac{6 (x + 1)}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.3

Сократим общий множитель $x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 (x + 1)}{x - 1} ((x - 1) (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$6 (x + 1) (x + 1) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.4

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$6 ({(x + 1)}^{1} (x + 1)) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.5

Возведем $x + 1$ в степень $1$ .

$6 ({(x + 1)}^{1} {(x + 1)}^{1}) + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 {(x + 1)}^{1 + 1} + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{x - 1}{x + 1} (6 (x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 \frac{x - 1}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.9

Объединим $6$ и $\frac{x - 1}{x + 1}$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{6 (x - 1)}{x + 1} ((x - 1) (x + 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.10

Сократим общий множитель $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.10.1

Вынесем множитель $x + 1$ из $(x - 1) (x + 1)$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{6 (x - 1)}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.10.2

Сократим общий множитель.

$6 {(x + 1)}^{2} + \frac{6 (x - 1)}{x + 1} ((x + 1) (x - 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.10.3

Перепишем это выражение.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 (x - 1) (x - 1) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.11

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 ({(x - 1)}^{1} (x - 1)) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.12

Возведем $x - 1$ в степень $1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 ({(x - 1)}^{1} {(x - 1)}^{1}) = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{1 + 1} = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.2.1.14

Добавим $1$ и $1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = \frac{13}{6} (6 (x - 1) (x + 1))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем множитель $6$ из $6 (x - 1) (x + 1)$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = \frac{13}{6} (6 ((x - 1) (x + 1)))$

Этап 2.3.1.2

Сократим общий множитель.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = \frac{13}{6} (6 ((x - 1) (x + 1)))$

Этап 2.3.1.3

Перепишем это выражение.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 ((x - 1) (x + 1))$

Этап 2.3.2

Развернем $(x - 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x (x + 1) - 1 (x + 1))$

Этап 2.3.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x + 1))$

Этап 2.3.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Объединим противоположные члены в $x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x - 1 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Изменим порядок множителей в членах $x \cdot 1$ и $- 1 x$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + 1 x - 1 x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.3.1.2

Вычтем $1 x$ из $1 x$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x + 0 - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.3.1.3

Добавим $x \cdot x$ и $0$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x \cdot x - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Умножим $x$ на $x$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x^{2} - 1 \cdot 1)$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 (x^{2} - 1)$

Этап 2.3.3.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 x^{2} + 13 \cdot - 1$

Этап 2.3.3.3.2

Умножим $13$ на $- 1$ .

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} = 13 x^{2} - 13$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вычтем $13 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$6 {(x + 1)}^{2} + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Перепишем ${(x + 1)}^{2}$ в виде $(x + 1) (x + 1)$ .

$6 ((x + 1) (x + 1)) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.2

Развернем $(x + 1) (x + 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x (x + 1) + 1 (x + 1)) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.3.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$6 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.3.1.2

Умножим $x$ на $1$ .

$6 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.3.1.3

Умножим $x$ на $1$ .

$6 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.3.1.4

Умножим $1$ на $1$ .

$6 (x^{2} + x + x + 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.3.2

Добавим $x$ и $x$ .

$6 (x^{2} + 2 x + 1) + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.4

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 6 (2 x) + 6 \cdot 1 + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.5.1

Умножим $2$ на $6$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 \cdot 1 + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.5.2

Умножим $6$ на $1$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 {(x - 1)}^{2} - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.6

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 ((x - 1) (x - 1)) - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.7

Развернем $(x - 1) (x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x (x - 1) - 1 (x - 1)) - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)) - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.8

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.8.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.8.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $x$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.8.1.3

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.8.1.4

Перепишем $- 1 x$ в виде $- x$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1) - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.8.1.5

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - x - x + 1) - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.8.2

Вычтем $x$ из $- x$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 (x^{2} - 2 x + 1) - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.9

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} + 6 (- 2 x) + 6 \cdot 1 - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.10.1

Умножим $- 2$ на $6$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} - 12 x + 6 \cdot 1 - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.2.10.2

Умножим $6$ на $1$ .

$6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} - 12 x + 6 - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.3

Объединим противоположные члены в $6 x^{2} + 12 x + 6 + 6 x^{2} - 12 x + 6 - 13 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Вычтем $12 x$ из $12 x$ .

$6 x^{2} + 6 + 6 x^{2} + 0 + 6 - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.3.2

Добавим $6 x^{2} + 6 + 6 x^{2}$ и $0$ .

$6 x^{2} + 6 + 6 x^{2} + 6 - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.4

Добавим $6 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 6 + 6 - 13 x^{2} = - 13$

Этап 3.1.5

Вычтем $13 x^{2}$ из $12 x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 + 6 = - 13$

Этап 3.1.6

Добавим $6$ и $6$ .

$- x^{2} + 12 = - 13$

Этап 3.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $12$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 13 - 12$

Этап 3.2.2

Вычтем $12$ из $- 13$ .

$- x^{2} = - 25$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- x^{2} = - 25$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 25$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 25}{- 1}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим $- 25$ на $- 1$ .

$x^{2} = 25$

Этап 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{25}$

Этап 3.5

Упростим $\pm \sqrt{25}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2}}$

Этап 3.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 5$

Этап 3.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 5$

Этап 3.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 5$

Этап 3.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 5, - 5$