Математический анализ Примеры

$\frac{x + 1}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} = - 1$

Этап 1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 x - 1, 3 x - 2, 1$

Этап 1.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 1.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 1.4

НОК $1, 1, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$1$

Этап 1.5

Множителем $3 x - 1$ является само значение $3 x - 1$ .

$(3 x - 1) = 3 x - 1$

$(3 x - 1)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.6

Множителем $3 x - 2$ является само значение $3 x - 2$ .

$(3 x - 2) = 3 x - 2$

$(3 x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 1.7

НОК $3 x - 1, 3 x - 2$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$(3 x - 1) (3 x - 2)$

Этап 2

Каждый член в $\frac{x + 1}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} = - 1$ умножим на $(3 x - 1) (3 x - 2)$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член $\frac{x + 1}{3 x - 1} + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} = - 1$ на $(3 x - 1) (3 x - 2)$ .

$\frac{x + 1}{3 x - 1} ((3 x - 1) (3 x - 2)) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Сократим общий множитель $3 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x + 1}{3 x - 1} ((3 x - 1) (3 x - 2)) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.1.2

Перепишем это выражение.

$(x + 1) (3 x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.2

Развернем $(x + 1) (3 x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x - 2) + 1 (3 x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x) + x \cdot - 2 + 1 (3 x - 2) + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (3 x) + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x \cdot x + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.3.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1.2.1

Перенесем $x$ .

$3 (x \cdot x) + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.3.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + x \cdot - 2 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.3.1.3

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$3 x^{2} - 2 \cdot x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.3.1.4

Умножим $3 x$ на $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 3 x + 1 \cdot - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.3.1.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$3 x^{2} - 2 x + 3 x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.3.2

Добавим $- 2 x$ и $3 x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 1) (3 x - 2)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.4

Сократим общий множитель $3 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.4.1

Вынесем множитель $3 x - 2$ из $(3 x - 1) (3 x - 2)$ .

$3 x^{2} + x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 2) (3 x - 1)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$3 x^{2} + x - 2 + \frac{2 x + 1}{3 x - 2} ((3 x - 2) (3 x - 1)) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$3 x^{2} + x - 2 + (2 x + 1) (3 x - 1) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.5

Развернем $(2 x + 1) (3 x - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 x (3 x - 1) + 1 (3 x - 1) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 x (3 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x - 1) = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 x (3 x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 x^{2} + x - 2 + 2 \cdot 3 x \cdot x + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.6.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.6.1.2.1

Перенесем $x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 2 \cdot 3 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.6.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 2 \cdot 3 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.6.1.3

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} + 2 x \cdot - 1 + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.6.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} - 2 x + 1 (3 x) + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.6.1.5

Умножим $3 x$ на $1$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} - 2 x + 3 x + 1 \cdot - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.6.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} - 2 x + 3 x - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.1.6.2

Добавим $- 2 x$ и $3 x$ .

$3 x^{2} + x - 2 + 6 x^{2} + x - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.2

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Добавим $3 x^{2}$ и $6 x^{2}$ .

$9 x^{2} + x - 2 + x - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 2 - 1 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.2.2.3

Вычтем $1$ из $- 2$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - ((3 x - 1) (3 x - 2))$

Этап 2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Развернем $(3 x - 1) (3 x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 x (3 x - 2) - 1 (3 x - 2))$

Этап 2.3.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x - 2))$

Этап 2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 x (3 x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Этап 2.3.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Этап 2.3.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Этап 2.3.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим $3$ на $3$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} + 3 x \cdot - 2 - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Этап 2.3.2.1.4

Умножим $- 2$ на $3$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 6 x - 1 (3 x) - 1 \cdot - 2)$

Этап 2.3.2.1.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 6 x - 3 x - 1 \cdot - 2)$

Этап 2.3.2.1.6

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 6 x - 3 x + 2)$

Этап 2.3.2.2

Вычтем $3 x$ из $- 6 x$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2} - 9 x + 2)$

Этап 2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - (9 x^{2}) - (- 9 x) - 1 \cdot 2$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - 9 x^{2} - (- 9 x) - 1 \cdot 2$

Этап 2.3.4.2

Умножим $- 9$ на $- 1$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - 9 x^{2} + 9 x - 1 \cdot 2$

Этап 2.3.4.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$9 x^{2} + 2 x - 3 = - 9 x^{2} + 9 x - 2$

Этап 3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Добавим $9 x^{2}$ к обеим частям уравнения.

$9 x^{2} + 2 x - 3 + 9 x^{2} = 9 x - 2$

Этап 3.1.2

Вычтем $9 x$ из обеих частей уравнения.

$9 x^{2} + 2 x - 3 + 9 x^{2} - 9 x = - 2$

Этап 3.1.3

Добавим $9 x^{2}$ и $9 x^{2}$ .

$18 x^{2} + 2 x - 3 - 9 x = - 2$

Этап 3.1.4

Вычтем $9 x$ из $2 x$ .

$18 x^{2} - 7 x - 3 = - 2$

Этап 3.2

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$18 x^{2} - 7 x - 3 + 2 = 0$

Этап 3.3

Добавим $- 3$ и $2$ .

$18 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Этап 3.4

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 18 \cdot - 1 = - 18$ , а сумма — $b = - 7$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $- 7$ из $- 7 x$ .

$18 x^{2} - 7 x - 1 = 0$

Этап 3.4.1.2

Запишем $- 7$ как $2$ плюс $- 9$

$18 x^{2} + (2 - 9) x - 1 = 0$

Этап 3.4.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$18 x^{2} + 2 x - 9 x - 1 = 0$

Этап 3.4.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(18 x^{2} + 2 x) - 9 x - 1 = 0$

Этап 3.4.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$2 x (9 x + 1) - (9 x + 1) = 0$

Этап 3.4.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $9 x + 1$ .

$(9 x + 1) (2 x - 1) = 0$

Этап 3.5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$9 x + 1 = 0$

$2 x - 1 = 0$

Этап 3.6

Приравняем $9 x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Приравняем $9 x + 1$ к $0$ .

$9 x + 1 = 0$

Этап 3.6.2

Решим $9 x + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$9 x = - 1$

Этап 3.6.2.2

Разделим каждый член $9 x = - 1$ на $9$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.1

Разделим каждый член $9 x = - 1$ на $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Этап 3.6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{9 x}{9} = \frac{- 1}{9}$

Этап 3.6.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- 1}{9}$

Этап 3.6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{1}{9}$

Этап 3.7

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 3.7.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 3.7.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 3.7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 3.8

Окончательным решением являются все значения, при которых $(9 x + 1) (2 x - 1) = 0$ верно.

$x = - \frac{1}{9}, \frac{1}{2}$

Этап 4

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$x = - \frac{1}{9}, \frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$x = - 0.\overline{1}, 0.5$