Математический анализ Примеры

$2 {(x - 2)}^{- \frac{1}{3}} - \frac{2}{3} \cdot (x {(x - 2)}^{- \frac{4}{3}}) = 0$

Этап 1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 \frac{1}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (x {(x - 2)}^{- \frac{4}{3}}) = 0$

Этап 1.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (x {(x - 2)}^{- \frac{4}{3}}) = 0$

Этап 1.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot (x \frac{1}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}) = 0$

Этап 1.4

Объединим $x$ и $\frac{1}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2}{3} \cdot \frac{x}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Этап 1.5

Умножим $\frac{x}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ на $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{x \cdot 2}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3} = 0$

Этап 1.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 \cdot x}{{(x - 2)}^{\frac{4}{3}} \cdot 3} = 0$

Этап 1.7

Перенесем $3$ влево от ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} = 0$

Этап 2

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}, 3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}, 1$

Этап 2.2

НОК — это наименьшее положительное число, на которое все числа делятся без остатка.

1. Перечислим простые множители каждого числа.

2. Применим каждый множитель наибольшее количество раз, которое он встречается в любом из чисел.

Этап 2.3

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.4

Поскольку $3$ не имеет множителей, кроме $1$ и $3$ .

$3$ — простое число

Этап 2.5

Число $1$ не является простым числом, поскольку оно имеет только один положительный делитель ― само число.

Не является простым

Этап 2.6

НОК $1, 3, 1$ представляет собой произведение всех простых множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

$3$

Этап 2.7

Множителем $x - 2$ является само значение $x - 2$ .

$(x - 2) = x - 2$

$(x - 2)$ встречается $1$ раз.

Этап 2.8

Множители $x - 2$ — это $(x - 2) \cdot (x - 2)$ , то есть $x - 2$ , умноженный на себя $2$ раз.

$(x - 2) = (x - 2) \cdot (x - 2)$

$(x - 2)$ встречается $2$ раз.

Этап 2.9

НОК ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}, {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ представляет собой произведение всех множителей в максимальной степени, с которой они входят в какой-либо из членов.

${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 2.10

Наименьшее общее кратное $LCM$ некоторых чисел равно наименьшему числу, на которое делятся эти числа.

$3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 3

Каждый член в $\frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ умножим на $3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член $\frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} = 0$ на $3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} {(x - 2)}^{\frac{4}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.2

Умножим $3 \frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Объединим $3$ и $\frac{2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} {(x - 2)}^{\frac{4}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.2.2

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{6}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} {(x - 2)}^{\frac{4}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.3

Сократим общий множитель ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Вынесем множитель ${(x - 2)}^{\frac{1}{3}}$ из ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{6}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{6}{{(x - 2)}^{\frac{1}{3}}} ({(x - 2)}^{\frac{1}{3}} {(x - 2)}^{\frac{3}{3}}) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$6 {(x - 2)}^{\frac{3}{3}} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.4

Разделим $3$ на $3$ .

$6 {(x - 2)}^{1} - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.5

Упростим.

$6 (x - 2) - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.6

Применим свойство дистрибутивности.

$6 x + 6 \cdot - 2 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.7

Умножим $6$ на $- 2$ .

$6 x - 12 - \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.8

Сократим общий множитель $3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.8.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}}$ в числитель.

$6 x - 12 + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.8.2

Сократим общий множитель.

$6 x - 12 + \frac{- 2 x}{3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}) = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.1.8.3

Перепишем это выражение.

$6 x - 12 - 2 x = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.2.2

Вычтем $2 x$ из $6 x$ .

$4 x - 12 = 0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $0 (3 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Умножим $3$ на $0$ .

$4 x - 12 = 0 {(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $0$ на ${(x - 2)}^{\frac{4}{3}}$ .

$4 x - 12 = 0$

Этап 4

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$4 x = 12$

Этап 4.2

Разделим каждый член $4 x = 12$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим каждый член $4 x = 12$ на $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{12}{4}$

Этап 4.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 x}{4} = \frac{12}{4}$

Этап 4.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{12}{4}$

Этап 4.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Разделим $12$ на $4$ .

$x = 3$