Математический анализ Примеры

$1 - \ln (1 - x) > 0$

Этап 1

Преобразуем неравенство в равенство.

$1 - \ln (1 - x) = 0$

Этап 2

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (1 - x) = - 1$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- \ln (1 - x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- \ln (1 - x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (1 - x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (1 - x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $\ln (1 - x)$ на $1$ .

$\ln (1 - x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\ln (1 - x) = 1$

Этап 2.3

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (1 - x)} = e^{1}$

Этап 2.4

Перепишем $\ln (1 - x) = 1$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{1} = 1 - x$

Этап 2.5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Перепишем уравнение в виде $1 - x = e^{1}$ .

$1 - x = e$

Этап 2.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x = e - 1$

Этап 2.5.3

Разделим каждый член $- x = e - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Разделим каждый член $- x = e - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.3.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{e}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{e}{- 1}$ .

$x = - 1 \cdot e + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot e$ в виде $- e$ .

$x = - e + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 2.5.3.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x = - e + 1$

Этап 3

Найдем область определения $1 - \ln (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим аргумент в $\ln (1 - x)$ большим $0$ , чтобы узнать, где определено данное выражение.

$1 - x > 0$

Этап 3.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей неравенства.

$- x > - 1$

Этап 3.2.2

Разделим каждый член $- x > - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Разделим каждый член $- x > - 1$ на $- 1$ . При умножении или делении обеих частей неравенства на отрицательное значение заменим знак неравенства на противоположный.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x}{1} < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x < \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x < 1$

Этап 3.3

Область определения ― это все значения $x$ , при которых выражение определено.

$(- \infty, 1)$

Этап 4

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < - e + 1$

$- e + 1 < x < 1$

$x > 1$

Этап 5

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Проверим значение на интервале $x < - e + 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Выберем значение на интервале $x < - e + 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = - 4$

Этап 5.1.2

Заменим $x$ на $- 4$ в исходном неравенстве.

$1 - \ln (1 - (- 4)) > 0$

Этап 5.1.3

Левая часть $- 0.60943791$ не больше правой части $0$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 5.2

Проверим значение на интервале $- e + 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Выберем значение на интервале $- e + 1 < x < 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 5.2.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$1 - \ln (1 - (0)) > 0$

Этап 5.2.3

Левая часть $1$ больше правой части $0$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 5.3

Проверим значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 5.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$1 - \ln (1 - (4)) > 0$

Этап 5.3.3

Определим, является ли истинным это неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Уравнение невозможно решить, потому что оно не определено.

$Неопределенные$

Этап 5.3.3.2

Левая часть не имеет решения. Это означает, что данное утверждение ложно.

False

Этап 5.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < - e + 1$ Ложь

$- e + 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

$x < - e + 1$ Ложь

$- e + 1 < x < 1$ Истина

$x > 1$ Ложь

Этап 6

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$- e + 1 < x < 1$

Этап 7

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$- e + 1 < x < 1$

Интервальное представление:

$(- e + 1, 1)$

Этап 8