Математический анализ Примеры

$- 2 x^{2} + 4000 x > 700000$

Этап 1

Преобразуем неравенство в уравнение.

$- 2 x^{2} + 4000 x = 700000$

Этап 2

Вычтем $700000$ из обеих частей уравнения.

$- 2 x^{2} + 4000 x - 700000 = 0$

Этап 3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 x^{2} + 4000 x - 700000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $- 2$ из $4000 x$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 700000 = 0$

Этап 3.2

Вынесем множитель $- 2$ из $- 700000$ .

$- 2 x^{2} - 2 (- 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

Этап 3.3

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2}) - 2 (- 2000 x)$ .

$- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 \cdot 350000 = 0$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 2$ из $- 2 (x^{2} - 2000 x) - 2 (350000)$ .

$- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$

Этап 4

Разделим каждый член $- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Разделим каждый член $- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000) = 0$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 (x^{2} - 2000 x + 350000)}{- 2} = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.2.1.2

Разделим $x^{2} - 2000 x + 350000$ на $1$ .

$x^{2} - 2000 x + 350000 = \frac{0}{- 2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Разделим $0$ на $- 2$ .

$x^{2} - 2000 x + 350000 = 0$

Этап 5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 2000$ и $c = 350000$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{2000 \pm \sqrt{{(- 2000)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 350000)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.1

Возведем $- 2000$ в степень $2$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 1 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2

Умножим $- 4 \cdot 1 \cdot 350000$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.2.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 4 \cdot 350000}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.2.2

Умножим $- 4$ на $350000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{4000000 - 1400000}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.3

Вычтем $1400000$ из $4000000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{2600000}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4

Перепишем $2600000$ в виде $200^{2} \cdot 65$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1.4.1

Вынесем множитель $40000$ из $2600000$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{40000 (65)}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.4.2

Перепишем $40000$ в виде $200^{2}$ .

$x = \frac{2000 \pm \sqrt{200^{2} \cdot 65}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.1.5

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$x = \frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$

Этап 7.3

Упростим $\frac{2000 \pm 200 \sqrt{65}}{2}$ .

$x = 1000 \pm 100 \sqrt{65}$

Этап 8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = 1000 + 100 \sqrt{65}, 1000 - 100 \sqrt{65}$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 10.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(0)}^{2} + 4000 (0) > 700000$

Этап 10.1.3

Левая часть $0$ не больше правой части $700000$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 196$

Этап 10.2.2

Заменим $x$ на $196$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(196)}^{2} + 4000 (196) > 700000$

Этап 10.2.3

Левая часть $707168$ больше правой части $700000$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1809$

Этап 10.3.2

Заменим $x$ на $1809$ в исходном неравенстве.

$- 2 {(1809)}^{2} + 4000 (1809) > 700000$

Этап 10.3.3

Левая часть $691038$ не больше правой части $700000$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ Ложь

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ Истина

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ Ложь

$x < 1000 - 100 \sqrt{65}$ Ложь

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$ Истина

$x > 1000 + 100 \sqrt{65}$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$1000 - 100 \sqrt{65} < x < 1000 + 100 \sqrt{65}$

Интервальное представление:

$(1000 - 100 \sqrt{65}, 1000 + 100 \sqrt{65})$

Этап 13