Математический анализ Примеры

$2 x^{2} + 1 < 9 x - 3$

Этап 1

Вычтем $9 x$ из обеих частей неравенства.

$2 x^{2} + 1 - 9 x < - 3$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$2 x^{2} + 1 - 9 x = - 3$

Этап 3

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$2 x^{2} + 1 - 9 x + 3 = 0$

Этап 4

Добавим $1$ и $3$ .

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

Этап 5

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 2 \cdot 4 = 8$ , а сумма — $b = - 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вынесем множитель $- 9$ из $- 9 x$ .

$2 x^{2} - 9 x + 4 = 0$

Этап 5.1.2

Запишем $- 9$ как $- 1$ плюс $- 8$

$2 x^{2} + (- 1 - 8) x + 4 = 0$

Этап 5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 x^{2} - 1 x - 8 x + 4 = 0$

Этап 5.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$(2 x^{2} - 1 x) - 8 x + 4 = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$x (2 x - 1) - 4 (2 x - 1) = 0$

Этап 5.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 x - 1$ .

$(2 x - 1) (x - 4) = 0$

Этап 6

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$2 x - 1 = 0$

$x - 4 = 0$

Этап 7

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $2 x - 1$ к $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Этап 7.2

Решим $2 x - 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 x = 1$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 8

Приравняем $x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $x - 4$ к $0$ .

$x - 4 = 0$

Этап 8.2

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$x = 4$

Этап 9

Окончательным решением являются все значения, при которых $(2 x - 1) (x - 4) = 0$ верно.

$x = \frac{1}{2}, 4$

Этап 10

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < 4$

$x > 4$

Этап 11

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 11.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$2 {(0)}^{2} + 1 < 9 (0) - 3$

Этап 11.1.3

Левая часть $1$ не меньше правой части $- 3$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 2$

Этап 11.2.2

Заменим $x$ на $2$ в исходном неравенстве.

$2 {(2)}^{2} + 1 < 9 (2) - 3$

Этап 11.2.3

Левая часть $9$ меньше правой части $15$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 11.3

Проверим значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Выберем значение на интервале $x > 4$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 6$

Этап 11.3.2

Заменим $x$ на $6$ в исходном неравенстве.

$2 {(6)}^{2} + 1 < 9 (6) - 3$

Этап 11.3.3

Левая часть $73$ не меньше правой части $51$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 11.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < 4$ Истина

$x > 4$ Ложь

Этап 12

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{2} < x < 4$

Этап 13

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{1}{2} < x < 4$

Интервальное представление:

$(\frac{1}{2}, 4)$

Этап 14