Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$ .

$\frac{1}{2 \sqrt{2 x - x^{2}}} = y$

Этап 2

Применим перекрестное умножение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Избавимся от дробей, приравняв произведение числителя правой части и знаменателя левой части произведению числителя левой части и знаменателя правой части.

$y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}}) = 1$

Этап 2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим $y \cdot (2 \sqrt{2 x - x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$2 y \sqrt{2 x - x^{2}} = 1$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $x$ из $2 x - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 - x^{2}} = 1$

Этап 2.2.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $- x^{2}$ .

$2 y \sqrt{x \cdot 2 + x (- x)} = 1$

Этап 2.2.1.2.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$2 y \sqrt{x (2 - x)} = 1$

Этап 3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${(2 y \sqrt{x (2 - x)})}^{2} = 1^{2}$

Этап 4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x (2 - x)}$ в виде ${(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим ${(2 y {(x (2 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(2 y {(x \cdot 2 + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.1.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.2.1

Перенесем $2$ влево от $x$ .

${(2 y {(2 \cdot x + x (- x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

${(2 y {(2 \cdot x - x \cdot x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

${(2 y {(2 x - (x \cdot x))}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

${(2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.3

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.3.1

Применим правило умножения к $2 y {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 y)}^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.3.2

Применим правило умножения к $2 y$ .

$2^{2} y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.4

Возведем $2$ в степень $2$ .

$4 y^{2} {({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.5

Перемножим экспоненты в ${({(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$4 y^{2} {(2 x - x^{2})}^{1} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.6

Упростим.

$4 y^{2} (2 x - x^{2}) = 1^{2}$

Этап 4.2.1.7

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 y^{2} (2 x) + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Этап 4.2.1.7.2

Упорядочим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.7.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 y^{2} (- x^{2}) = 1^{2}$

Этап 4.2.1.7.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \cdot 2 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.8

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.8.1

Умножим $4$ на $2$ .

$8 y^{2} x + 4 \cdot - 1 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Этап 4.2.1.8.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1^{2}$

Этап 4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} = 1$

Этап 5

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$8 y^{2} x - 4 y^{2} x^{2} - 1 = 0$

Этап 5.2

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 5.3

Подставим значения $a = - 4 y^{2}$ , $b = 8 y^{2}$ и $c = - 1$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $x$ .

$\frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - 4 \cdot (- 4 y^{2} \cdot - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Перепишем $- 4 \cdot - 4 y^{2}$ в виде ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(8 y^{2})}^{2} - {(4 y)}^{2}}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 8 y^{2}$ и $b = 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(8 y^{2} + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1

Вынесем множитель $4 y$ из $8 y^{2} + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.3.1.1

Вынесем множитель $4 y$ из $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.3.1.2

Вынесем множитель $4 y$ из $4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{(4 y (2 y) + 4 y (1)) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.3.1.3

Вынесем множитель $4 y$ из $4 y (2 y) + 4 y (1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - (4 y))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (8 y^{2} - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.4

Вынесем множитель $4 y$ из $8 y^{2} - 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.4.1

Вынесем множитель $4 y$ из $8 y^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) - 4 y)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.4.2

Вынесем множитель $4 y$ из $- 4 y$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y) + 4 y (- 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.4.3

Вынесем множитель $4 y$ из $4 y (2 y) + 4 y (- 1)$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4 y (2 y + 1) \cdot (4 y (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.5.1

Умножим $4$ на $4$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y (2 y + 1) y (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.5.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.5.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 (y \cdot y) (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{1 + 1} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.6

Перепишем $16 y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)$ в виде ${(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.6.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{4^{2} y^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.6.2

Перепишем $4^{2} y^{2}$ в виде ${(4 y)}^{2}$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} (2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.6.3

Добавим круглые скобки.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm \sqrt{{(4 y)}^{2} ((2 y + 1) (2 y - 1))}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 (- 4 y^{2})}$

Этап 5.4.2

Умножим $- 4$ на $2$ .

$x = \frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$

Этап 5.4.3

Упростим $\frac{- 8 y^{2} \pm 4 y \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{- 8 y^{2}}$ .

$x = \frac{2 y \pm \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

Этап 5.5

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y + \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$

$x = \frac{2 y - \sqrt{(2 y + 1) (2 y - 1)}}{2 y}$