Математический анализ Примеры

$6 k^{3} - 5 k^{2} < 4 k$

Этап 1

Вычтем $4 k$ из обеих частей неравенства.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k < 0$

Этап 2

Преобразуем неравенство в уравнение.

$6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Этап 3

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Вынесем множитель $k$ из $6 k^{3} - 5 k^{2} - 4 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $k$ из $6 k^{3}$ .

$k (6 k^{2}) - 5 k^{2} - 4 k = 0$

Этап 3.1.2

Вынесем множитель $k$ из $- 5 k^{2}$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) - 4 k = 0$

Этап 3.1.3

Вынесем множитель $k$ из $- 4 k$ .

$k (6 k^{2}) + k (- 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Этап 3.1.4

Вынесем множитель $k$ из $k (6 k^{2}) + k (- 5 k)$ .

$k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4 = 0$

Этап 3.1.5

Вынесем множитель $k$ из $k (6 k^{2} - 5 k) + k \cdot - 4$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Этап 3.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = 6 \cdot - 4 = - 24$ , а сумма — $b = - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Вынесем множитель $- 5$ из $- 5 k$ .

$k (6 k^{2} - 5 k - 4) = 0$

Этап 3.2.1.1.2

Запишем $- 5$ как $3$ плюс $- 8$

$k (6 k^{2} + (3 - 8) k - 4) = 0$

Этап 3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$k (6 k^{2} + 3 k - 8 k - 4) = 0$

Этап 3.2.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$k ((6 k^{2} + 3 k) - 8 k - 4) = 0$

Этап 3.2.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$k (3 k (2 k + 1) - 4 (2 k + 1)) = 0$

Этап 3.2.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $2 k + 1$ .

$k ((2 k + 1) (3 k - 4)) = 0$

Этап 3.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$

Этап 4

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$k = 0$

$2 k + 1 = 0$

$3 k - 4 = 0$

Этап 5

Приравняем $k$ к $0$ .

$k = 0$

Этап 6

Приравняем $2 k + 1$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $2 k + 1$ к $0$ .

$2 k + 1 = 0$

Этап 6.2

Решим $2 k + 1 = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 k = - 1$

Этап 6.2.2

Разделим каждый член $2 k = - 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Разделим каждый член $2 k = - 1$ на $2$ .

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 k}{2} = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k = \frac{- 1}{2}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$k = - \frac{1}{2}$

Этап 7

Приравняем $3 k - 4$ к $0$ , затем решим относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $3 k - 4$ к $0$ .

$3 k - 4 = 0$

Этап 7.2

Решим $3 k - 4 = 0$ относительно $k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 k = 4$

Этап 7.2.2

Разделим каждый член $3 k = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Разделим каждый член $3 k = 4$ на $3$ .

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 7.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 k}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 7.2.2.2.1.2

Разделим $k$ на $1$ .

$k = \frac{4}{3}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $k (2 k + 1) (3 k - 4) = 0$ верно.

$k = 0, - \frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

Этап 9

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$k < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < k < 0$

$0 < k < \frac{4}{3}$

$k > \frac{4}{3}$

Этап 10

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проверим значение на интервале $k < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Выберем значение на интервале $k < - \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$k = - 3$

Этап 10.1.2

Заменим $k$ на $- 3$ в исходном неравенстве.

$6 {(- 3)}^{3} - 5 {(- 3)}^{2} < 4 (- 3)$

Этап 10.1.3

Левая часть $- 207$ меньше правой части $- 12$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.2

Проверим значение на интервале $- \frac{1}{2} < k < 0$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Выберем значение на интервале $- \frac{1}{2} < k < 0$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$k = - 0.25$

Этап 10.2.2

Заменим $k$ на $- 0.25$ в исходном неравенстве.

$6 {(- 0.25)}^{3} - 5 {(- 0.25)}^{2} < 4 (- 0.25)$

Этап 10.2.3

Левая часть $- 0.40625$ не меньше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.3

Проверим значение на интервале $0 < k < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Выберем значение на интервале $0 < k < \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$k = 1$

Этап 10.3.2

Заменим $k$ на $1$ в исходном неравенстве.

$6 {(1)}^{3} - 5 {(1)}^{2} < 4 (1)$

Этап 10.3.3

Левая часть $1$ меньше правой части $4$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 10.4

Проверим значение на интервале $k > \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Выберем значение на интервале $k > \frac{4}{3}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$k = 4$

Этап 10.4.2

Заменим $k$ на $4$ в исходном неравенстве.

$6 {(4)}^{3} - 5 {(4)}^{2} < 4 (4)$

Этап 10.4.3

Левая часть $304$ не меньше правой части $16$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 10.5

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$k < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Ложь

$0 < k < \frac{4}{3}$ Истина

$k > \frac{4}{3}$ Ложь

$k < - \frac{1}{2}$ Истина

$- \frac{1}{2} < k < 0$ Ложь

$0 < k < \frac{4}{3}$ Истина

$k > \frac{4}{3}$ Ложь

Этап 11

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$k < - \frac{1}{2}$ или $0 < k < \frac{4}{3}$

Этап 12

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$k < - \frac{1}{2} or 0 < k < \frac{4}{3}$

Интервальное представление:

$(- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (0, \frac{4}{3})$

Этап 13