Математический анализ Примеры

$| x + 1 | - | x - 3 | > - 1$

Этап 1

Заменим $>$ на $=$ в $| x + 1 | - | x - 3 | > - 1$ .

$| x + 1 | - | x - 3 | = - 1$

Этап 2

Решим относительно $| x - 3 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $| x + 1 |$ из обеих частей уравнения.

$- | x - 3 | = - 1 - | x + 1 |$

Этап 2.2

Разделим каждый член $- | x - 3 | = - 1 - | x + 1 |$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим каждый член $- | x - 3 | = - 1 - | x + 1 |$ на $- 1$ .

$\frac{- | x - 3 |}{- 1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{- | x + 1 |}{- 1}$

Этап 2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| x - 3 |}{1} = \frac{- 1}{- 1} + \frac{- | x + 1 |}{- 1}$

Этап 2.2.2.2

Разделим $| x - 3 |$ на $1$ .

$| x - 3 | = \frac{- 1}{- 1} + \frac{- | x + 1 |}{- 1}$

Этап 2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$| x - 3 | = 1 + \frac{- | x + 1 |}{- 1}$

Этап 2.2.3.1.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$| x - 3 | = 1 + \frac{| x + 1 |}{1}$

Этап 2.2.3.1.3

Разделим $| x + 1 |$ на $1$ .

$| x - 3 | = 1 + | x + 1 |$

Этап 3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x - 3 = \pm (1 + | x + 1 |)$

Этап 4

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x - 3 = 1 + | x + 1 |$

$x - 3 = - (1 + | x + 1 |)$

Этап 5

Решим $x - 3 = 1 + | x + 1 |$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Решим относительно $| x + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Перепишем уравнение в виде $1 + | x + 1 | = x - 3$ .

$1 + | x + 1 | = x - 3$

Этап 5.1.2

Перенесем все члены без $| x + 1 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$| x + 1 | = x - 3 - 1$

Этап 5.1.2.2

Вычтем $1$ из $- 3$ .

$| x + 1 | = x - 4$

Этап 5.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm (x - 4)$

Этап 5.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x + 1 = x - 4$

$x + 1 = - (x - 4)$

Этап 5.4

Решим $x + 1 = x - 4$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x + 1 - x = - 4$

Этап 5.4.1.2

Объединим противоположные члены в $x + 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 + 1 = - 4$

Этап 5.4.1.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1 = - 4$

Этап 5.4.2

Поскольку $1 \neq - 4$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 5.5

Решим $x + 1 = - (x - 4)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Упростим $- (x - 4)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1.1

Перепишем.

$x + 1 = 0 + 0 - (x - 4)$

Этап 5.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x + 1 = - (x - 4)$

Этап 5.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = - x - - 4$

Этап 5.5.1.4

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$x + 1 = - x + 4$

Этап 5.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x + 1 + x = 4$

Этап 5.5.2.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 1 = 4$

Этап 5.5.3

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = 4 - 1$

Этап 5.5.3.2

Вычтем $1$ из $4$ .

$2 x = 3$

Этап 5.5.4

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Разделим каждый член $2 x = 3$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{3}{2}$

Этап 5.5.4.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{3}{2}$

Этап 5.6

Объединим решения.

$x = \frac{3}{2}$

Этап 6

Решим $x - 3 = - (1 + | x + 1 |)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Решим относительно $| x + 1 |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Перепишем уравнение в виде $- (1 + | x + 1 |) = x - 3$ .

$- (1 + | x + 1 |) = x - 3$

Этап 6.1.2

Упростим $- (1 + | x + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 \cdot 1 - | x + 1 | = x - 3$

Этап 6.1.2.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1 - | x + 1 | = x - 3$

Этап 6.1.3

Перенесем все члены без $| x + 1 |$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.3.1

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$- | x + 1 | = x - 3 + 1$

Этап 6.1.3.2

Добавим $- 3$ и $1$ .

$- | x + 1 | = x - 2$

Этап 6.1.4

Разделим каждый член $- | x + 1 | = x - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Разделим каждый член $- | x + 1 | = x - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- | x + 1 |}{- 1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.1.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{| x + 1 |}{1} = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.1.4.2.2

Разделим $| x + 1 |$ на $1$ .

$| x + 1 | = \frac{x}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.1.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{x}{- 1}$ .

$| x + 1 | = - 1 \cdot x + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.1.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot x$ в виде $- x$ .

$| x + 1 | = - x + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 6.1.4.3.1.3

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$| x + 1 | = - x + 2$

Этап 6.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$x + 1 = \pm (- x + 2)$

Этап 6.3

Результат состоит как из положительных, так и из отрицательных частей $\pm$ .

$x + 1 = - x + 2$

$x + 1 = - (- x + 2)$

Этап 6.4

Решим $x + 1 = - x + 2$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1.1

Добавим $x$ к обеим частям уравнения.

$x + 1 + x = 2$

Этап 6.4.1.2

Добавим $x$ и $x$ .

$2 x + 1 = 2$

Этап 6.4.2

Перенесем все члены без $x$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$2 x = 2 - 1$

Этап 6.4.2.2

Вычтем $1$ из $2$ .

$2 x = 1$

Этап 6.4.3

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Разделим каждый член $2 x = 1$ на $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.4.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Этап 6.4.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Этап 6.5

Решим $x + 1 = - (- x + 2)$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Упростим $- (- x + 2)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.1

Перепишем.

$x + 1 = 0 + 0 - (- x + 2)$

Этап 6.5.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$x + 1 = - (- x + 2)$

Этап 6.5.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x + 1 = - - x - 1 \cdot 2$

Этап 6.5.1.4

Умножим $- - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$x + 1 = 1 x - 1 \cdot 2$

Этап 6.5.1.4.2

Умножим $x$ на $1$ .

$x + 1 = x - 1 \cdot 2$

Этап 6.5.1.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$x + 1 = x - 2$

Этап 6.5.2

Перенесем все члены с $x$ в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$x + 1 - x = - 2$

Этап 6.5.2.2

Объединим противоположные члены в $x + 1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.2.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$0 + 1 = - 2$

Этап 6.5.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$1 = - 2$

Этап 6.5.3

Поскольку $1 \neq - 2$ , решения отсутствуют.

Нет решения

Этап 6.6

Объединим решения.

$x = \frac{1}{2}$

Этап 7

Объединим решения.

$x = \frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

Этап 8

Используем каждый корень для создания контрольных интервалов.

$x < \frac{1}{2}$

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$

$x > \frac{3}{2}$

Этап 9

Выберем тестовое значение из каждого интервала и подставим это значение в исходное неравенство для определения интервалов, удовлетворяющих неравенству.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Проверим значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Выберем значение на интервале $x < \frac{1}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 0$

Этап 9.1.2

Заменим $x$ на $0$ в исходном неравенстве.

$| (0) + 1 | - | (0) - 3 | > - 1$

Этап 9.1.3

Левая часть $- 2$ не больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение ложно.

False

Этап 9.2

Проверим значение на интервале $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Выберем значение на интервале $\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 1$

Этап 9.2.2

Заменим $x$ на $1$ в исходном неравенстве.

$| (1) + 1 | - | (1) - 3 | > - 1$

Этап 9.2.3

Левая часть $0$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.3

Проверим значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли оно верным неравенство.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Выберем значение на интервале $x > \frac{3}{2}$ и посмотрим, делает ли это значение верным исходное неравенство.

$x = 4$

Этап 9.3.2

Заменим $x$ на $4$ в исходном неравенстве.

$| (4) + 1 | - | (4) - 3 | > - 1$

Этап 9.3.3

Левая часть $4$ больше правой части $- 1$ , значит, данное утверждение всегда истинно.

True

Этап 9.4

Сравним интервалы, чтобы определить, какие из них удовлетворяют исходному неравенству.

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Истина

$x < \frac{1}{2}$ Ложь

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ Истина

$x > \frac{3}{2}$ Истина

Этап 10

Решение состоит из всех истинных интервалов.

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2}$ или $x > \frac{3}{2}$

Этап 11

Результат можно представить в различном виде.

Форма неравенства:

$\frac{1}{2} < x < \frac{3}{2} or x > \frac{3}{2}$

Интервальное представление:

$(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}) \cup (\frac{3}{2}, \infty)$

Этап 12