Математический анализ Примеры

$\tan (arcsec (\frac{x}{3}))$

Этап 1

Запишем выражение, используя экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ и начале координат. Тогда $arcsec (\frac{x}{3})$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ . Следовательно, $\tan (arcsec (\frac{x}{3}))$ равно $\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}$

Этап 1.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}}$

Этап 2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = \frac{x}{3}$ и $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{x}{3} + 1) (\frac{x}{3} - 1)}$

Этап 3

Объединим в одну дробь.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 1)}$

Этап 3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1)}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 1 \cdot 3}{3}}$

Этап 7

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 3}{3}}$

Этап 8

Умножим $\frac{x + 3}{3}$ на $\frac{x - 3}{3}$ .

$\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{3 \cdot 3}}$

Этап 9

Умножим $3$ на $3$ .

$\sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}}$

Этап 10

Перепишем $\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}$ в виде ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $(x + 3) (x - 3)$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{9}}$

Этап 10.2

Вынесем полную степень $3^{2}$ из $9$ .

$\sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}$

Этап 10.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$\sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))}$

Этап 11

Вынесем члены из-под знака корня.

$\frac{1}{3} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$

Этап 12

Объединим $\frac{1}{3}$ и $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}$