Математический анализ Примеры

$Q = l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} + k^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение в виде $l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} + k^{2} = Q$ .

$l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} + k^{2} = Q$

Этап 2

Перенесем все члены без $l$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вычтем $k^{2}$ из обеих частей уравнения.

$l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} - Q = - k^{2}$

Этап 2.2

Добавим $Q$ к обеим частям уравнения.

$l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} = - k^{2} + Q$

Этап 3

Разделим каждый член $l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} = - k^{2} + Q$ на $k^{\frac{3}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}} = - k^{2} + Q$ на $k^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}}}{k^{\frac{3}{2}}} = \frac{- k^{2}}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{l^{\frac{1}{2}} k^{\frac{3}{2}}}{k^{\frac{3}{2}}} = \frac{- k^{2}}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.2.2

Разделим $l^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$l^{\frac{1}{2}} = \frac{- k^{2}}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перенесем $k^{\frac{3}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{2} k^{- \frac{3}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.3.1.2

Умножим $k^{2}$ на $k^{- \frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.1

Перенесем $k^{- \frac{3}{2}}$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - (k^{- \frac{3}{2}} k^{2}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{- \frac{3}{2} + 2} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.3.1.2.3

Чтобы записать $2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{- \frac{3}{2} + 2 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.3.1.2.4

Объединим $2$ и $\frac{2}{2}$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{- \frac{3}{2} + \frac{2 \cdot 2}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.3.1.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{\frac{- 3 + 2 \cdot 2}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.3.1.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.2.6.1

Умножим $2$ на $2$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{\frac{- 3 + 4}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 3.3.1.2.6.2

Добавим $- 3$ и $4$ .

$l^{\frac{1}{2}} = - k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 4

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(l^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

Этап 5

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Упростим ${(l^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${(l^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$l^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

Этап 5.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$l^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

Этап 5.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$l^{1} = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

Этап 5.1.1.2

Упростим.

$l = {(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$

Этап 5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим ${(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Перепишем ${(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})}^{2}$ в виде $(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$ .

$l = (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$

Этап 5.2.1.2

Развернем $(- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$l = - k^{\frac{1}{2}} (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$

Этап 5.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$l = - k^{\frac{1}{2}} (- k^{\frac{1}{2}}) - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}})$

Этап 5.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$l = - k^{\frac{1}{2}} (- k^{\frac{1}{2}}) - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.2

Умножим $k^{\frac{1}{2}}$ на $k^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.2.1

Перенесем $k^{\frac{1}{2}}$ .

$l = - 1 \cdot - 1 (k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{1}{2}}) - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{1 + 1}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.2.4

Добавим $1$ и $1$ .

$l = - 1 \cdot - 1 k^{\frac{2}{2}} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.2.5

Разделим $2$ на $2$ .

$l = - 1 \cdot - 1 k^{1} - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.3

Упростим $- 1 \cdot - 1 k^{1}$ .

$l = - 1 \cdot - 1 k - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.4

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$l = 1 k - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.5

Умножим $k$ на $1$ .

$l = k - k^{\frac{1}{2}} \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.6

Сократим общий множитель $k^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.6.1

Вынесем множитель $k^{\frac{1}{2}}$ из $- k^{\frac{1}{2}}$ .

$l = k + k^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.6.2

Вынесем множитель $k^{\frac{1}{2}}$ из $k^{\frac{3}{2}}$ .

$l = k + k^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.6.3

Сократим общий множитель.

$l = k + k^{\frac{1}{2}} \cdot - 1 \frac{Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.6.4

Перепишем это выражение.

$l = k - 1 \frac{Q}{k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.7

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.7.1

Разделим $2$ на $2$ .

$l = k - 1 \frac{Q}{k^{1}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.7.2

Упростим.

$l = k - 1 \frac{Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.8

Перепишем $- 1 \frac{Q}{k}$ в виде $- \frac{Q}{k}$ .

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} (- k^{\frac{1}{2}}) + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.10

Сократим общий множитель $k^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.10.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$ в числитель.

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{3}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.10.2

Вынесем множитель $k^{\frac{1}{2}}$ из $k^{\frac{3}{2}}$ .

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.10.3

Сократим общий множитель.

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{1}{2}} k^{\frac{2}{2}}} k^{\frac{1}{2}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.10.4

Перепишем это выражение.

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.11

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.11.1

Сократим общий множитель.

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{\frac{2}{2}}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.11.2

Перепишем это выражение.

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k^{1}} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.12

Упростим.

$l = k - \frac{Q}{k} + \frac{- Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}} \cdot \frac{Q}{k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.14

Объединим.

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q \cdot Q}{k^{\frac{3}{2}} k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.15

Умножим $Q$ на $Q$ .

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{3}{2}} k^{\frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.16

Умножим $k^{\frac{3}{2}}$ на $k^{\frac{3}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.3.1.16.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.16.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{3 + 3}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.16.3

Добавим $3$ и $3$ .

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{\frac{6}{2}}}$

Этап 5.2.1.3.1.16.4

Разделим $6$ на $2$ .

$l = k - \frac{Q}{k} - \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

Этап 5.2.1.3.2

Вычтем $\frac{Q}{k}$ из $- \frac{Q}{k}$ .

$l = k - 2 \frac{Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

Этап 5.2.1.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.4.1

Объединим $- 2$ и $\frac{Q}{k}$ .

$l = k + \frac{- 2 Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

Этап 5.2.1.4.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$l = k - \frac{2 Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$

Этап 6

Упростим $k - \frac{2 Q}{k} + \frac{Q^{2}}{k^{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перенесем $- \frac{2 Q}{k}$ .

$l = k + \frac{Q^{2}}{k^{3}} - \frac{2 Q}{k}$

Этап 6.2

Изменим порядок $k$ и $\frac{Q^{2}}{k^{3}}$ .

$l = \frac{Q^{2}}{k^{3}} + k - \frac{2 Q}{k}$