Математический анализ Примеры

$\cot (\arccos (x))$

Этап 1

Построим на плоскости треугольник с вершинами в точках

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ ,

$(x, 0)$ и начале координат. Тогда

$\arccos (x)$ — это угол между положительной частью оси абсцисс и лучом с вершиной в начале координат, проходящим через точку

$(x, \sqrt{1^{2} - x^{2}})$ . Следовательно,

$\cot (\arccos (x))$ равно

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}$

Этап 2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем

$1$ в виде

$1^{2}$ .

$\frac{x}{\sqrt{1^{2} - x^{2}}}$

Этап 2.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов,

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где

$a = 1$ и

$b = x$ .

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 3

Умножим

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}} \cdot \frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим

$\frac{x}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ на

$\frac{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{\sqrt{(1 + x) (1 - x)} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 4.2

Возведем

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень

$1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}$

Этап 4.3

Возведем

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в степень

$1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1} {\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1}}$

Этап 4.4

Применим правило степени

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{1 + 1}}$

Этап 4.5

Добавим

$1$ и

$1$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}}$

Этап 4.6

Перепишем

${\sqrt{(1 + x) (1 - x)}}^{2}$ в виде

$(1 + x) (1 - x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

С помощью

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем

$\sqrt{(1 + x) (1 - x)}$ в виде

${((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{({((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Этап 4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Этап 4.6.3

Объединим

$\frac{1}{2}$ и

$2$ .

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4

Сократим общий множитель

$2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{\frac{2}{2}}}$

Этап 4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{{((1 + x) (1 - x))}^{1}}$

Этап 4.6.5

Упростим.

$\frac{x \sqrt{(1 + x) (1 - x)}}{(1 + x) (1 - x)}$