Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - y^{2}$ и $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} - y^{2}] - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- y^{2}]) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x + 0) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} + y^{2}) (2 x) - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 2.4.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{2 \cdot (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - (x^{2} - y^{2}) (2 x)}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 (x^{2} + y^{2}) x - 2 (x^{2} - y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 x^{2} + 2 y^{2}) x - 2 (x^{2} - y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 y^{2} x - 2 (x^{2} - y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 y^{2} x + (- 2 x^{2} - 2 (- y^{2})) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 x^{2} x + 2 y^{2} x - 2 x^{2} x - 2 (- y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} x + 2 y^{2} x - 2 x^{2} x - 2 (- y^{2}) x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $2 x^{2} x$ из $2 x^{2} x$ .

$\frac{2 y^{2} x + 0 - 2 (- y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Добавим $2 y^{2} x$ и $0$ .

$\frac{2 y^{2} x - 2 (- y^{2}) x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.2

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{2 y^{2} x + 2 y^{2} x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$

Этап 3.5.3

Добавим $2 y^{2} x$ и $2 y^{2} x$ .

$\frac{4 y^{2} x}{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}$