Математический анализ Примеры

${(e^{8 x - 1})}^{5}$

Этап 1

Перемножим экспоненты в ${(e^{8 x - 1})}^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{(8 x - 1) \cdot 5}]$

Этап 1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d}{d x} [e^{8 x \cdot 5 - 1 \cdot 5}]$

Этап 1.3

Умножим $5$ на $8$ .

$\frac{d}{d x} [e^{40 x - 1 \cdot 5}]$

Этап 1.4

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{d}{d x} [e^{40 x - 5}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 40 x - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $40 x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $40 x - 5$ .

$e^{40 x - 5} \frac{d}{d x} [40 x - 5]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $40 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$e^{40 x - 5} (\frac{d}{d x} [40 x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.2

Поскольку $40$ является константой относительно $x$ , производная $40 x$ по $x$ равна $40 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{40 x - 5} (40 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{40 x - 5} (40 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.4

Умножим $40$ на $1$ .

$e^{40 x - 5} (40 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Этап 3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{40 x - 5} (40 + 0)$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Добавим $40$ и $0$ .

$e^{40 x - 5} \cdot 40$

Этап 3.6.2

Перенесем $40$ влево от $e^{40 x - 5}$ .

$40 e^{40 x - 5}$