Математический анализ Примеры

${(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ и $g (x) = a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из $3$ .

$\frac{3}{2} {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 6

Объединим $\frac{3}{2}$ и ${(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 7

По правилу суммы производная $a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [a^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}])$

Этап 8

Поскольку $a^{\frac{2}{3}}$ является константой относительно $x$ , производная $a^{\frac{2}{3}}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}])$

Этап 9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [- x^{\frac{2}{3}}]$

Этап 10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}])$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Этап 12

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Этап 13

Объединим $- 1$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 14

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Этап 15

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Этап 15.2

Вычтем $3$ из $2$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Этап 16

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Этап 17

Объединим $\frac{2}{3}$ и $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Этап 18

Перенесем $x^{- \frac{1}{3}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2} (- \frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}})$

Этап 19

Умножим $\frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ на $\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$ .

$- \frac{3 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 (3 x^{\frac{1}{3}})}$

Этап 20

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 20.1

Умножим $2$ на $3$ .

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{2 (3 x^{\frac{1}{3}})}$

Этап 20.2

Умножим $3$ на $2$ .

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 21

Сократим общий множитель.

$- \frac{6 {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{6 x^{\frac{1}{3}}}$

Этап 22

Перепишем это выражение.

$- \frac{{(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{3}}}$