Математический анализ Примеры

${(\frac{x}{12})}^{15}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{15}$ и $g (x) = \frac{x}{12}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{x}{12}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{15}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 15$ .

$15 u^{14} \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{x}{12}$ .

$15 {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [\frac{x}{12}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $\frac{1}{12}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{12}$ по $x$ равна $\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 {(\frac{x}{12})}^{14} (\frac{1}{12} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Объединим $\frac{1}{12}$ и $15$ .

$\frac{15}{12} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2

Сократим общий множитель $15$ и $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $15$ .

$\frac{3 (5)}{12} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $12$ .

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14} \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $\frac{5}{4}$ на $1$ .

$\frac{5}{4} {(\frac{x}{12})}^{14}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\frac{x}{12}$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{x^{14}}{12^{14}}$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Возведем $12$ в степень $14$ .

$\frac{5}{4} \cdot \frac{x^{14}}{1283918464548860}$

Этап 3.2.2

Умножим $\frac{5}{4}$ на $\frac{x^{14}}{1283918464548860}$ .

$\frac{5 x^{14}}{4 \cdot 1283918464548860}$

Этап 3.2.3

Умножим $4$ на $1283918464548860$ .

$\frac{5 x^{14}}{5135673858195440}$

Этап 3.2.4

Сократим общий множитель $5$ и $5135673858195440$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.1

Вынесем множитель $5$ из $5 x^{14}$ .

$\frac{5 (x^{14})}{5135673858195440}$

Этап 3.2.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.4.2.1

Вынесем множитель $5$ из $5135673858195440$ .

$\frac{5 x^{14}}{5 \cdot 1027134771639088}$

Этап 3.2.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{5 x^{14}}{5 \cdot 1027134771639088}$

Этап 3.2.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{14}}{1027134771639088}$