Математический анализ Примеры

$\ln (\frac{3 x + 1}{3 x - 1})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = \frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{3 x + 1}{3 x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Этап 2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{3 x + 1}{3 x - 1}$ .

$1 \frac{3 x - 1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Этап 3

Умножим $\frac{3 x - 1}{3 x + 1}$ на $1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{3 x + 1}{3 x - 1}]$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 3 x + 1$ и $g (x) = 3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) \frac{d}{d x} [3 x + 1] - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

По правилу суммы производная $3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.4

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 + \frac{d}{d x} [1]) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.5

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) (3 + 0) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{(3 x - 1) \cdot 3 - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.6.2

Перенесем $3$ влево от $3 x - 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 \cdot (3 x - 1) - (3 x + 1) \frac{d}{d x} [3 x - 1]}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.7

По правилу суммы производная $3 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.10

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) (3 + 0)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.12

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.1

Добавим $3$ и $0$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - (3 x + 1) \cdot 3}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.12.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{3 x - 1}{3 x + 1} \cdot \frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 5.12.3

Умножим $\frac{3 x - 1}{3 x + 1}$ на $\frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{{(3 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}}$

Этап 6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $3 x - 1$ из $(3 x + 1) {(3 x - 1)}^{2}$ .

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))}$

Этап 6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(3 x - 1) (3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1))}{(3 x - 1) ((3 x + 1) (3 x - 1))}$

Этап 6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{3 (3 x - 1) - 3 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Этап 7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x + 1)}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Этап 7.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Этап 7.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим противоположные члены в $3 (3 x) + 3 \cdot - 1 - 3 (3 x) - 3 \cdot 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1.1

Вычтем $3 (3 x)$ из $3 (3 x)$ .

$\frac{3 \cdot - 1 + 0 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Этап 7.3.1.2

Добавим $3 \cdot - 1$ и $0$ .

$\frac{3 \cdot - 1 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Этап 7.3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 - 3 \cdot 1}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Этап 7.3.2.2

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{- 3 - 3}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Этап 7.3.3

Вычтем $3$ из $- 3$ .

$\frac{- 6}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$

Этап 7.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{6}{(3 x + 1) (3 x - 1)}$