Математический анализ Примеры

${(\frac{1}{81})}^{2 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = {(\frac{1}{81})}^{x}$ и $g (x) = 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$\frac{d}{d u} [{(\frac{1}{81})}^{u}] \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $\frac{1}{81}$ .

${(\frac{1}{81})}^{u} \ln (\frac{1}{81}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) \frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) (2 \cdot 1)$

Этап 2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}) \cdot 2$

Этап 2.3.2

Перенесем $2$ влево от ${(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81})$ .

$2 \cdot ({(\frac{1}{81})}^{2 x} \ln (\frac{1}{81}))$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим правило умножения к $\frac{1}{81}$ .

$2 \frac{1^{2 x}}{81^{2 x}} \ln (\frac{1}{81})$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$2 \frac{1}{81^{2 x}} \ln (\frac{1}{81})$

Этап 3.2.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{81^{2 x}}$ .

$\frac{2}{81^{2 x}} \ln (\frac{1}{81})$

Этап 3.2.3

Объединим $\frac{2}{81^{2 x}}$ и $\ln (\frac{1}{81})$ .

$\frac{2 \ln (\frac{1}{81})}{81^{2 x}}$