Математический анализ Примеры

$(x - 6) {(x + 2)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 6$ и $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$(x - 6) (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$(x - 6) (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$(x - 6) (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем $3$ влево от $x - 6$ .

$3 \cdot (x - 6) {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 3.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} (1 + 0) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Добавим $1$ и $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} \cdot 1 + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 3.5.2

Умножим $3$ на $1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 3.6

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 3.8

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} (1 + 0)$

Этап 3.9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Добавим $1$ и $0$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3} \cdot 1$

Этап 3.9.2

Умножим ${(x + 2)}^{3}$ на $1$ .

$3 (x - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x + 3 \cdot - 6) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $- 6$ .

$(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$

Этап 4.3

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2}$ из $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2} + {(x + 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2}$ из $(3 x - 18) {(x + 2)}^{2}$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{3}$

Этап 4.3.2

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2}$ из ${(x + 2)}^{3}$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель ${(x + 2)}^{2}$ из ${(x + 2)}^{2} (3 x - 18) + {(x + 2)}^{2} (x + 2)$ .

${(x + 2)}^{2} (3 x - 18 + x + 2)$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $3 x$ и $x$ .

${(x + 2)}^{2} (4 x - 18 + 2)$

Этап 4.4.2

Добавим $- 18$ и $2$ .

${(x + 2)}^{2} (4 x - 16)$

Этап 4.5

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$(x + 2) (x + 2) (4 x - 16)$

Этап 4.6

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x (x + 2) + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

Этап 4.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (4 x - 16)$

Этап 4.6.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Этап 4.7

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Этап 4.7.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$(x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (4 x - 16)$

Этап 4.7.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$(x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (4 x - 16)$

Этап 4.7.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$

Этап 4.8

Развернем $(x^{2} + 4 x + 4) (4 x - 16)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.1

Перенесем $x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 16 + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.3

Перенесем $- 16$ влево от $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 16 \cdot x^{2} + 4 x (4 x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x \cdot x + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.9.5.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 (x \cdot x) + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 4 \cdot 4 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.6

Умножим $4$ на $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} + 4 x \cdot - 16 + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.7

Умножим $- 16$ на $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 4 (4 x) + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.8

Умножим $4$ на $4$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x + 4 \cdot - 16$

Этап 4.9.9

Умножим $4$ на $- 16$ .

$4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$

Этап 4.10

Объединим противоположные члены в $4 x^{3} - 16 x^{2} + 16 x^{2} - 64 x + 16 x - 64$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.10.1

Добавим $- 16 x^{2}$ и $16 x^{2}$ .

$4 x^{3} + 0 - 64 x + 16 x - 64$

Этап 4.10.2

Добавим $4 x^{3}$ и $0$ .

$4 x^{3} - 64 x + 16 x - 64$

Этап 4.11

Добавим $- 64 x$ и $16 x$ .

$4 x^{3} - 48 x - 64$