Математический анализ Примеры

${(x^{4} + 3 x)}^{- 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{4} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{4} + 3 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{4} + 3 x$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{4} + 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3 \cdot 1)$

Этап 2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$- {(x^{4} + 3 x)}^{- 2} (4 x^{3} + 3)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$

Этап 3.2

Изменим порядок множителей в $- \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}} (4 x^{3} + 3)$ .

$- (4 x^{3} + 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (4 x^{3}) - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Этап 3.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$(- 4 x^{3} - 1 \cdot 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Этап 3.5

Умножим $- 1$ на $3$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x^{4} + 3 x)}^{2}}$

Этап 3.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4} + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{4}$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + 3 x)}^{2}}$

Этап 3.6.1.2

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x \cdot x^{3} + x \cdot 3)}^{2}}$

Этап 3.6.1.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x^{3} + x \cdot 3$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{{(x (x^{3} + 3))}^{2}}$

Этап 3.6.2

Применим правило умножения к $x (x^{3} + 3)$ .

$(- 4 x^{3} - 3) \frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.7

Умножим $- 4 x^{3} - 3$ на $\frac{1}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{3} - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x^{3}$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.9

Перепишем $- 3$ в виде $- 1 (3)$ .

$\frac{- (4 x^{3}) - 1 (3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x^{3}) - 1 (3)$ .

$\frac{- (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.11

Перепишем $- (4 x^{3} + 3)$ в виде $- 1 (4 x^{3} + 3)$ .

$\frac{- 1 (4 x^{3} + 3)}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$

Этап 3.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4 x^{3} + 3}{x^{2} {(x^{3} + 3)}^{2}}$