Математический анализ Примеры

$\frac{x^{4} - 3 x^{2}}{{(x^{2} - 1)}^{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{4} - 3 x^{2}$ и $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{2}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} - 1)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{4} - 3 x^{2}] - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{4} - 3 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 2.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 3 (2 x)) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 2.6

Умножим $2$ на $- 3$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{2}]}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (2 u \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - (x^{4} - 3 x^{2}) (2 (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{{(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $x^{2} - 1$ из ${(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель $x^{2} - 1$ из ${(x^{2} - 1)}^{2} (4 x^{3} - 6 x)$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель $x^{2} - 1$ из $- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) ((x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1])$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) + (x^{2} - 1) (- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель $x^{2} - 1$ из $(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)) + (x^{2} - 1) (- 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{{(x^{2} - 1)}^{4}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель $x^{2} - 1$ из ${(x^{2} - 1)}^{4}$ .

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} - 1) ((x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]))}{(x^{2} - 1) {(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2} - 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 6

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 8

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x + 0)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 2 (x^{4} - 3 x^{2}) (2 x)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 9.2

Умножим $2$ на $- 2$ .

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 4 (x^{4} - 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) + (- 4 x^{4} - 4 (- 3 x^{2})) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Развернем $(x^{2} - 1) (4 x^{3} - 6 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (4 x^{3} - 6 x) - 1 (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3} - 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} (4 x^{3}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{2} x^{3} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1.2.1

Перенесем $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{2}) + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{3 + 2} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.2.3

Добавим $3$ и $2$ .

$\frac{4 x^{5} + x^{2} (- 6 x) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{2} x - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 (x \cdot x^{2}) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.2.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 (x^{1} x^{2}) - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{1 + 2} - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 1 (4 x^{3}) - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.5

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 4 x^{3} - 1 (- 6 x) - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.1.6

Умножим $- 6$ на $- 1$ .

$\frac{4 x^{5} - 6 x^{3} - 4 x^{3} + 6 x - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.2.2

Вычтем $4 x^{3}$ из $- 6 x^{3}$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{4} x - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.3

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 (x \cdot x^{4}) - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 (x^{1} x^{4}) - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{1 + 4} - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.3.3

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{2}) x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.4

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.4.1

Перенесем $x$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 (x \cdot x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.4.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 (x^{1} x^{2}))}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{1 + 2})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.4.3

Добавим $1$ и $2$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} - 4 (- 3 x^{3})}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.1.5

Умножим $- 3$ на $- 4$ .

$\frac{4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.2

Объединим противоположные члены в $4 x^{5} - 10 x^{3} + 6 x - 4 x^{5} + 12 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Вычтем $4 x^{5}$ из $4 x^{5}$ .

$\frac{- 10 x^{3} + 6 x + 0 + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.2.2

Добавим $- 10 x^{3} + 6 x$ и $0$ .

$\frac{- 10 x^{3} + 6 x + 12 x^{3}}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.3.3

Добавим $- 10 x^{3}$ и $12 x^{3}$ .

$\frac{2 x^{3} + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.4

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3} + 6 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 6 x}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.4.2

Вынесем множитель $2 x$ из $6 x$ .

$\frac{2 x (x^{2}) + 2 x (3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.4.3

Вынесем множитель $2 x$ из $2 x (x^{2}) + 2 x (3)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1)}^{3}}$

Этап 10.5

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x^{2} - 1^{2})}^{3}}$

Этап 10.5.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{((x + 1) (x - 1))}^{3}}$

Этап 10.5.3

Применим правило умножения к $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{2 x (x^{2} + 3)}{{(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3}}$