Математический анализ Примеры

${(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 8}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 8}$ и $g (x) = x^{2} - 7 x - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} - 7 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{- 8}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 1]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 8$ .

$- 8 u^{- 9} \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} - 7 x - 1$ .

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} \frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x - 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 7 x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.3

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.5

Умножим $- 7$ на $1$ .

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 2.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7 + 0)$

Этап 2.7

Добавим $2 x - 7$ и $0$ .

$- 8 {(x^{2} - 7 x - 1)}^{- 9} (2 x - 7)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$

Этап 3.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$ .

$\frac{- 8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$

Этап 3.3

Изменим порядок множителей в $- \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}} (2 x - 7)$ .

$- (2 x - 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(- (2 x) - - 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

Этап 3.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$(- 2 x - - 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

Этап 3.6

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$(- 2 x + 7) \frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

Этап 3.7

Умножим $- 2 x + 7$ на $\frac{8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$ .

$\frac{(- 2 x + 7) \cdot 8}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

Этап 3.8

Перенесем $8$ влево от $- 2 x + 7$ .

$\frac{8 \cdot (- 2 x + 7)}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

Этап 3.9

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$\frac{8 (- (2 x) + 7)}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

Этап 3.10

Перепишем $7$ в виде $- 1 (- 7)$ .

$\frac{8 (- (2 x) - 1 (- 7))}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

Этап 3.11

Вынесем множитель $- 1$ из $- (2 x) - 1 (- 7)$ .

$\frac{8 (- (2 x - 7))}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

Этап 3.12

Перепишем $- (2 x - 7)$ в виде $- 1 (2 x - 7)$ .

$\frac{8 (- 1 (2 x - 7))}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$

Этап 3.13

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{8 (2 x - 7)}{{(x^{2} - 7 x - 1)}^{9}}$