Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2} - 2 x + 2}{x - 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x^{2} - 2 x + 2$ и $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 2 x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{(x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.5

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2 + 0) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.7

Добавим $2 x - 2$ и $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.8

По правилу суммы производная $x - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 2.11.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - (x^{2} - 2 x + 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(x - 1) (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Развернем $(x - 1) (2 x - 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x - 2) - 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x - 2) - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x (2 x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{2 x \cdot x + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.2

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1.2.1

Перенесем $x$ .

$\frac{2 (x \cdot x) + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.2.2

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{2 x^{2} + x \cdot - 2 - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.3

Перенесем $- 2$ влево от $x$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 \cdot x - 1 (2 x) - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.4

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x - 1 \cdot - 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.1.5

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$\frac{2 x^{2} - 2 x - 2 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Вычтем $2 x$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} - (- 2 x) - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 1 \cdot 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $2 x^{2} - 4 x + 2 - x^{2} + 2 x - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $2$ из $2$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x + 0}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x$ и $0$ .

$\frac{2 x^{2} - 4 x - x^{2} + 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $x^{2}$ из $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 4 x + 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Добавим $- 4 x$ и $2 x$ .

$\frac{x^{2} - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $x$ из $x^{2} - 2 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$\frac{x \cdot x - 2 x}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $x$ из $- 2 x$ .

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $x$ из $x \cdot x + x \cdot - 2$ .

$\frac{x (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$