Математический анализ Примеры

${(0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5)}^{1.5}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{1.5}$ и $g (x) = 0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{1.5}] \frac{d}{d x} [0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1.5$ .

$1.5 u^{0.5} \frac{d}{d x} [0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5$ .

$1.5 {(0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5)}^{0.5} \frac{d}{d x} [0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.1 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4.2 x] + \frac{d}{d x} [3.5]$ .

$1.5 {(0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5)}^{0.5} (\frac{d}{d x} [0.1 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4.2 x] + \frac{d}{d x} [3.5])$

Этап 2.2

Поскольку $0.1$ является константой относительно $x$ , производная $0.1 x^{2}$ по $x$ равна $0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$1.5 {(0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5)}^{0.5} (0.1 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4.2 x] + \frac{d}{d x} [3.5])$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$1.5 {(0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5)}^{0.5} (0.1 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4.2 x] + \frac{d}{d x} [3.5])$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $0.1$ .

$1.5 {(0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5)}^{0.5} (0.2 x + \frac{d}{d x} [- 4.2 x] + \frac{d}{d x} [3.5])$

Этап 2.5

Поскольку $- 4.2$ является константой относительно $x$ , производная $- 4.2 x$ по $x$ равна $- 4.2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$1.5 {(0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5)}^{0.5} (0.2 x - 4.2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3.5])$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1.5 {(0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5)}^{0.5} (0.2 x - 4.2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3.5])$

Этап 2.7

Умножим $- 4.2$ на $1$ .

$1.5 {(0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5)}^{0.5} (0.2 x - 4.2 + \frac{d}{d x} [3.5])$

Этап 2.8

Поскольку $3.5$ является константой относительно $x$ , производная $3.5$ относительно $x$ равна $0$ .

$1.5 {(0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5)}^{0.5} (0.2 x - 4.2 + 0)$

Этап 2.9

Добавим $0.2 x - 4.2$ и $0$ .

$1.5 {(0.1 x^{2} - 4.2 x + 3.5)}^{0.5} (0.2 x - 4.2)$