Математический анализ Примеры

${(1 + x)}^{\cot (x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить дифференцирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ в виде $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}]$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ , вынося $\cot (x)$ из логарифма.

$\frac{d}{d x} [e^{\cot (x) \ln (1 + x)}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cot (x) \ln (1 + x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\cot (x) \ln (1 + x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\cot (x) \ln (1 + x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \frac{d}{d x} [\cot (x) \ln (1 + x)]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = \ln (1 + x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) \frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $1 + x$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 4.2

Производная $\ln (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\frac{1}{u_{2}}$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 + x$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) (\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $\frac{1}{1 + x}$ и $\cot (x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 5.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 5.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 5.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \frac{d}{d x} [x] + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 5.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} \cdot 1 + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 5.6

Умножим $\frac{\cot (x)}{1 + x}$ на $1$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \ln (1 + x) \frac{d}{d x} [\cot (x)])$

Этап 6

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)))$

Этап 7

Чтобы записать $\ln (1 + x) (- \csc^{2} (x))$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{1 + x}{1 + x}$ .

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\frac{\cot (x)}{1 + x} + \frac{\ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x})$

Этап 8

Объединим числители над общим знаменателем.

$e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \frac{\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x}$

Этап 9

Объединим $e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$ и $\frac{\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x)}{1 + x}$ .

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) + \ln (1 + x) (- \csc^{2} (x)) (1 + x))}{1 + x}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) (1 + x))}{1 + x}$

Этап 10.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) \cdot 1 - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Этап 10.1.1.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (\cot (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Этап 10.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x)) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Этап 10.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) + e^{\cot (x) \ln (1 + x)} (- \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x)}{1 + x}$

Этап 10.1.3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x}{1 + x}$

Этап 10.1.4

Изменим порядок множителей в $e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) x$ .

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x) - x e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \ln (1 + x) \csc^{2} (x)}{1 + x}$

Этап 10.2

Изменим порядок членов.

$\frac{e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \cot (x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} \csc^{2} (x) \ln (1 + x) - e^{\cot (x) \ln (1 + x)} x \csc^{2} (x) \ln (1 + x)}{x + 1}$