Математический анализ Примеры

$\frac{1 - 3 x}{3 x}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{3}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1 - 3 x}{3 x}$ по $x$ равна $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 3 x}{x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1 - 3 x}{x}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - 3 x$ и $g (x) = x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [1 - 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 - 3 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [- 3 x] - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 3 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x (- 3 \cdot 1) - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{x \cdot - 3 - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.6.2

Перенесем $- 3$ влево от $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 \cdot x - (1 - 3 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Этап 3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x - (1 - 3 x) \cdot 1}{x^{2}}$

Этап 3.8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{x^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3 x - (1 - 3 x)}{3 x^{2}}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 3 x - 1 \cdot 1 - (- 3 x)}{3 x^{2}}$

Этап 4.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{- 3 x - 1 - (- 3 x)}{3 x^{2}}$

Этап 4.2.1.2

Умножим $- 3$ на $- 1$ .

$\frac{- 3 x - 1 + 3 x}{3 x^{2}}$

Этап 4.2.2

Объединим противоположные члены в $- 3 x - 1 + 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.2.1

Добавим $- 3 x$ и $3 x$ .

$\frac{0 - 1}{3 x^{2}}$

Этап 4.2.2.2

Вычтем $1$ из $0$ .

$\frac{- 1}{3 x^{2}}$

Этап 4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{3 x^{2}}$