Математический анализ Примеры

$\frac{1 - 6 x}{e^{3 x}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = 1 - 6 x$ и $g (x) = e^{3 x}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{{(e^{3 x})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{3 x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{3 x \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [1 - 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $1 - 6 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{e^{3 x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Этап 2.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{e^{3 x} (0 + \frac{d}{d x} [- 6 x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Этап 2.4

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{e^{3 x} \frac{d}{d x} [- 6 x] - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Этап 2.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{e^{3 x} (- 6 \frac{d}{d x} [x]) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{e^{3 x} (- 6 \cdot 1) - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Этап 2.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 6$ на $1$ .

$\frac{e^{3 x} \cdot - 6 - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Этап 2.7.2

Перенесем $- 6$ влево от $e^{3 x}$ .

$\frac{- 6 \cdot e^{3 x} - (1 - 6 x) \frac{d}{d x} [e^{3 x}]}{e^{6 x}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{u} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])}{e^{6 x}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - (1 - 6 x) (e^{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Этап 4.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} (\frac{d}{d x} [x]))}{e^{6 x}}$

Этап 4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) (e^{3 x} \cdot 1)}{e^{6 x}}$

Этап 4.4

Умножим $e^{3 x}$ на $1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 (1 - 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 6 e^{3 x} + (- 3 \cdot 1 - 3 (- 6 x)) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 \cdot 1 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Этап 5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Умножим $- 3$ на $1$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} - 3 (- 6 x) e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Этап 5.3.1.2

Умножим $- 6$ на $- 3$ .

$\frac{- 6 e^{3 x} - 3 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Этап 5.3.2

Вычтем $3 e^{3 x}$ из $- 6 e^{3 x}$ .

$\frac{- 9 e^{3 x} + 18 x e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$\frac{18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Этап 5.5

Вынесем множитель $9 e^{3 x}$ из $18 e^{3 x} x - 9 e^{3 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Вынесем множитель $9 e^{3 x}$ из $18 e^{3 x} x$ .

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) - 9 e^{3 x}}{e^{6 x}}$

Этап 5.5.2

Вынесем множитель $9 e^{3 x}$ из $- 9 e^{3 x}$ .

$\frac{9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)}{e^{6 x}}$

Этап 5.5.3

Вынесем множитель $9 e^{3 x}$ из $9 e^{3 x} (2 x) + 9 e^{3 x} (- 1)$ .

$\frac{9 e^{3 x} (2 x - 1)}{e^{6 x}}$

Этап 5.6

Сократим общий множитель $e^{3 x}$ и $e^{6 x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Вынесем множитель $e^{6 x}$ из $9 e^{3 x} (2 x - 1)$ .

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x}}$

Этап 5.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.2.1

Умножим на $1$ .

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Этап 5.6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{6 x} (9 e^{- 3 x} (2 x - 1))}{e^{6 x} \cdot 1}$

Этап 5.6.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{9 e^{- 3 x} (2 x - 1)}{1}$

Этап 5.6.2.4

Разделим $9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$ на $1$ .

$9 e^{- 3 x} (2 x - 1)$

Этап 5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$9 e^{- 3 x} (2 x) + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

Этап 5.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x + 9 e^{- 3 x} \cdot - 1$

Этап 5.9

Умножим $- 1$ на $9$ .

$9 \cdot 2 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

Этап 5.10

Умножим $9$ на $2$ .

$18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$

Этап 5.11

Изменим порядок множителей в $18 e^{- 3 x} x - 9 e^{- 3 x}$ .

$18 x e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x}$