Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Этап 1.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x^{2}$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (9 x)$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (9 x)$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (9 x)$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9 x$ по $x$ равна $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9 \cdot 1$

Этап 1.1.3.3

Умножим $9$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + 9$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 12 x + 9 = 0$

Этап 2.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 12 x + 9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 12 x + 9 = 0$

Этап 2.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 12 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 4 x) + 9 = 0$

Этап 2.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$3 x^{2} + 3 (- 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Этап 2.2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 4 x)$ .

$3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3 = 0$

Этап 2.2.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 4 x) + 3 \cdot 3$ .

$3 (x^{2} - 4 x + 3) = 0$

Этап 2.2.2

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Разложим $x^{2} - 4 x + 3$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $3$ , а сумма — $- 4$ .

$- 3, - 1$

Этап 2.2.2.1.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$3 ((x - 3) (x - 1)) = 0$

Этап 2.2.2.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 (x - 3) (x - 1) = 0$

Этап 2.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 2.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 2.5

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 2.5.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 2.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 (x - 3) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 3, 1$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $3, 1$ .

$3, 1$

Этап 4

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы вокруг значений $x$ , при которых производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 1) \cup (1, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 1)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 12 \cdot 0 + 9$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Этап 5.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 0 + 9$

Этап 5.2.1.3

Умножим $- 12$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 9$

Этап 5.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 9$

Этап 5.2.2.2

Добавим $0$ и $9$ .

$f' (0) = 9$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $9$ .

$9$

Этап 5.3

При $x = 0$ производная имеет вид $9$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(- \infty, 1)$ .

Возрастание в области $(- \infty, 1)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(1, 3)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f' (2) = 3 {(2)}^{2} - 12 \cdot 2 + 9$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f' (2) = 3 \cdot 4 - 12 \cdot 2 + 9$

Этап 6.2.1.2

Умножим $3$ на $4$ .

$f' (2) = 12 - 12 \cdot 2 + 9$

Этап 6.2.1.3

Умножим $- 12$ на $2$ .

$f' (2) = 12 - 24 + 9$

Этап 6.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вычтем $24$ из $12$ .

$f' (2) = - 12 + 9$

Этап 6.2.2.2

Добавим $- 12$ и $9$ .

$f' (2) = - 3$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $- 3$ .

$- 3$

Этап 6.3

При $x = 2$ производная имеет вид $- 3$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(1, 3)$ .

Убывание на $(1, 3)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 7

Подставим значение из интервала $(3, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 3 {(4)}^{2} - 12 \cdot 4 + 9$

Этап 7.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = 3 \cdot 16 - 12 \cdot 4 + 9$

Этап 7.2.1.2

Умножим $3$ на $16$ .

$f' (4) = 48 - 12 \cdot 4 + 9$

Этап 7.2.1.3

Умножим $- 12$ на $4$ .

$f' (4) = 48 - 48 + 9$

Этап 7.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.2.1

Вычтем $48$ из $48$ .

$f' (4) = 0 + 9$

Этап 7.2.2.2

Добавим $0$ и $9$ .

$f' (4) = 9$

Этап 7.2.3

Окончательный ответ: $9$ .

$9$

Этап 7.3

При $x = 4$ производная имеет вид $9$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(3, \infty)$ .

Возрастание в области $(3, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 8

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(- \infty, 1), (3, \infty)$

Убывание на: $(1, 3)$

Этап 9