Математический анализ Примеры

${(1 - \cos (x))}^{2}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = 1 - \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $1 - \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 - \cos (x)$ .

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $1 - \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Этап 2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 (1 - \cos (x)) (0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)])$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$

Этап 2.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (1 - \cos (x)) (- \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$- 2 (1 - \cos (x)) \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- 2 (1 - \cos (x)) (- \sin (x))$

Этап 4

Умножим $- 1$ на $- 2$ .

$2 (1 - \cos (x)) \sin (x)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(2 \cdot 1 + 2 (- \cos (x))) \sin (x)$

Этап 5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 \cdot 1 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

Этап 5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим $2$ на $1$ .

$2 \sin (x) + 2 (- \cos (x)) \sin (x)$

Этап 5.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \sin (x) - 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 5.4

Изменим порядок членов.

$- 2 \cos (x) \sin (x) + 2 \sin (x)$