Математический анализ Примеры

${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ и $g (x) = 16 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $16 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $16 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Этап 2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Этап 3

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Этап 4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Этап 5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Этап 5.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Этап 6

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Этап 6.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Этап 6.3

Перенесем ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]$

Этап 7

По правилу суммы производная $16 - x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 8

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Этап 9

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Этап 10

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{2}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 11

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Этап 12

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Этап 12.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Этап 12.3

Объединим $\frac{- 2}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ и $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 12.4

Вынесем множитель $2$ из $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Вынесем множитель $2$ из $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Этап 13.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 (- x)}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 14

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{x}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$