Математический анализ Примеры

$(5 x^{4} - x + 2) (- x^{5} + 9)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 5 x^{4} - x + 2$ и $g (x) = - x^{5} + 9$ .

$(5 x^{4} - x + 2) \frac{d}{d x} [- x^{5} + 9] + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- x^{5} + 9$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (\frac{d}{d x} [- x^{5}] + \frac{d}{d x} [9]) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x^{5}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [9]) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [9]) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Этап 2.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4} + \frac{d}{d x} [9]) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Этап 2.5

Поскольку $9$ является константой относительно $x$ , производная $9$ относительно $x$ равна $0$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4} + 0) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Этап 2.6

Добавим $- 5 x^{4}$ и $0$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) \frac{d}{d x} [5 x^{4} - x + 2]$

Этап 2.7

По правилу суммы производная $5 x^{4} - x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.8

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{4}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.10

Умножим $4$ на $5$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.13

Умножим $- 1$ на $1$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - 1 + \frac{d}{d x} [2])$

Этап 2.14

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - 1 + 0)$

Этап 2.15

Добавим $20 x^{3} - 1$ и $0$ .

$(5 x^{4} - x + 2) (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - 1)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3} - 1)$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) + (- x^{5} + 9) (20 x^{3}) + (- x^{5} + 9) \cdot - 1$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) + (- x^{5} + 9) \cdot - 1$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$5 x^{4} (- 5 x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $- 5$ на $5$ .

$- 25 x^{4} x^{4} - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.2

Умножим $x^{4}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.2.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 25 (x^{4} x^{4}) - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 25 x^{4 + 4} - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.2.3

Добавим $4$ и $4$ .

$- 25 x^{8} - x (- 5 x^{4}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.3

Умножим $- 5$ на $- 1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x \cdot x^{4} + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.4

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Перенесем $x^{4}$ .

$- 25 x^{8} + 5 (x^{4} x) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.4.2

Умножим $x^{4}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 25 x^{8} + 5 (x^{4} x^{1}) + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.4.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 25 x^{8} + 5 x^{4 + 1} + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.4.3

Добавим $4$ и $1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} + 2 (- 5 x^{4}) - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.5

Умножим $- 5$ на $2$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - x^{5} (20 x^{3}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.6

Умножим $20$ на $- 1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{5} x^{3} + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.7

Умножим $x^{5}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.7.1

Перенесем $x^{3}$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 (x^{3} x^{5}) + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{3 + 5} + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.7.3

Добавим $3$ и $5$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{8} + 9 (20 x^{3}) - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.8

Умножим $20$ на $9$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{8} + 180 x^{3} - x^{5} \cdot - 1 + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.9

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{8} + 180 x^{3} + 1 x^{5} + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.10

Умножим $x^{5}$ на $1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{8} + 180 x^{3} + x^{5} + 9 \cdot - 1$

Этап 3.5.11

Умножим $9$ на $- 1$ .

$- 25 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} - 20 x^{8} + 180 x^{3} + x^{5} - 9$

Этап 3.5.12

Вычтем $20 x^{8}$ из $- 25 x^{8}$ .

$- 45 x^{8} + 5 x^{5} - 10 x^{4} + 180 x^{3} + x^{5} - 9$

Этап 3.5.13

Добавим $5 x^{5}$ и $x^{5}$ .

$- 45 x^{8} + 6 x^{5} - 10 x^{4} + 180 x^{3} - 9$