Математический анализ Примеры

$(3 x + 1) (5 x^{2} - 6 x + 3)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 3 x + 1$ и $g (x) = 5 x^{2} - 6 x + 3$ .

$(3 x + 1) \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 6 x + 3] + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $5 x^{2} - 6 x + 3$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$(3 x + 1) (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{2}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$(3 x + 1) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(3 x + 1) (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2.4

Умножим $2$ на $5$ .

$(3 x + 1) (10 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2.5

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6 x$ по $x$ равна $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2.7

Умножим $- 6$ на $1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 + \frac{d}{d x} [3]) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2.8

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6 + 0) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2.9

Добавим $10 x - 6$ и $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \frac{d}{d x} [3 x + 1]$

Этап 2.10

По правилу суммы производная $3 x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.11

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.13

Умножим $3$ на $1$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 2.14

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) (3 + 0)$

Этап 2.15

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.15.1

Добавим $3$ и $0$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + (5 x^{2} - 6 x + 3) \cdot 3$

Этап 2.15.2

Перенесем $3$ влево от $5 x^{2} - 6 x + 3$ .

$(3 x + 1) (10 x - 6) + 3 \cdot (5 x^{2} - 6 x + 3)$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x + 1) (10 x - 6) + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 x + 1) (10 x) + (3 x + 1) \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x (10 x) + 1 (10 x) + (3 x + 1) \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x (10 x) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.5

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Умножим $10$ на $3$ .

$30 x \cdot x + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.5.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$30 (x^{1} x) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.5.3

Возведем $x$ в степень $1$ .

$30 (x^{1} x^{1}) + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$30 x^{1 + 1} + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$30 x^{2} + 1 (10 x) + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.5.6

Умножим $10$ на $1$ .

$30 x^{2} + 10 x + 3 x \cdot - 6 + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.5.7

Умножим $- 6$ на $3$ .

$30 x^{2} + 10 x - 18 x + 1 \cdot - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.5.8

Умножим $- 6$ на $1$ .

$30 x^{2} + 10 x - 18 x - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.5.9

Вычтем $18 x$ из $10 x$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 3 (5 x^{2}) + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.5.10

Умножим $5$ на $3$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 3$

Этап 3.5.11

Умножим $- 6$ на $3$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} - 18 x + 3 \cdot 3$

Этап 3.5.12

Умножим $3$ на $3$ .

$30 x^{2} - 8 x - 6 + 15 x^{2} - 18 x + 9$

Этап 3.5.13

Добавим $30 x^{2}$ и $15 x^{2}$ .

$45 x^{2} - 8 x - 6 - 18 x + 9$

Этап 3.5.14

Вычтем $18 x$ из $- 8 x$ .

$45 x^{2} - 26 x - 6 + 9$

Этап 3.5.15

Добавим $- 6$ и $9$ .

$45 x^{2} - 26 x + 3$