Математический анализ Примеры

$3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $3 x^{2} \sec (x) + \sin (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \sec (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} \sec (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \sec (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \sec (x)$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.3

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Этап 3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + \sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (x^{2} (\sec (x) \tan (x))) + 3 (\sec (x) (2 x)) + \cos (x)$

Этап 4.2

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} (\sec (x) \tan (x)) + 6 \sec (x) x + \cos (x)$

Этап 4.3

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} \sec (x) \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Этап 4.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Этап 4.4.2

Умножим $3 x^{2} \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$x^{2} \frac{3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Этап 4.4.2.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3}{\cos (x)}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Этап 4.4.3

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{3 \cdot x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Этап 4.4.4

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Этап 4.4.5

Объединим.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Этап 4.4.6

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.6.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Этап 4.4.6.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Этап 4.4.6.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Этап 4.4.6.4

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \sec (x) + \cos (x)$

Этап 4.4.7

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + 6 x \frac{1}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.4.8

Умножим $6 x \frac{1}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.8.1

Объединим $6$ и $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + x \frac{6}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.4.8.2

Объединим $x$ и $\frac{6}{\cos (x)}$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{x \cdot 6}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.4.9

Перенесем $6$ влево от $x$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{3 x^{2} \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.5.2

Разделим дроби.

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.5.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{3 x^{2}}{\cos (x)} \tan (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.5.4

Объединим $\frac{3 x^{2}}{\cos (x)}$ и $\tan (x)$ .

$\frac{3 x^{2} \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.5.5

Разделим дроби.

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.5.6

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{3 x^{2}}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.5.7

Перепишем $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ в виде произведения.

$\frac{3 x^{2}}{1} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.5.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.8.1

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.5.8.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{3 x^{2}}{1} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.5.9

Разделим $3 x^{2}$ на $1$ .

$3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 4.6

Изменим порядок множителей в $3 x^{2} (\tan (x) \sec (x)) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$ .

$3 x^{2} \tan (x) \sec (x) + \frac{6 x}{\cos (x)} + \cos (x)$