Математический анализ Примеры

$\tan^{2} (3 x) - \tan^{2} (3 x)$

Этап 1

По правилу суммы производная $\tan^{2} (3 x) - \tan^{2} (3 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \tan (3 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\tan (3 x)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 2.1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\tan (3 x)$ .

$2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)] + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 2.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $3 x$ .

$2 \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\tan (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\sec^{2} (u_{2})$ .

$2 \tan (3 x) (\sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $3 x$ .

$2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \cdot 3) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 2.6

Перенесем $3$ влево от $\sec^{2} (3 x)$ .

$2 \tan (3 x) (3 \cdot \sec^{2} (3 x)) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 2.7

Умножим $3$ на $2$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) + \frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$

Этап 3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \tan^{2} (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \tan^{2} (3 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - \frac{d}{d x} [\tan^{2} (3 x)]$

Этап 3.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $\tan (3 x)$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Этап 3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [{u_{3}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{3}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 u_{3} \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Этап 3.2.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $\tan (3 x)$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) \frac{d}{d x} [\tan (3 x)])$

Этап 3.3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $3 x$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\frac{d}{d u_{4}} [\tan (u_{4})] \frac{d}{d x} [3 x]))$

Этап 3.3.2

Производная $\tan (u_{4})$ по $u_{4}$ равна $\sec^{2} (u_{4})$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (u_{4}) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Этап 3.3.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $3 x$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]))$

Этап 3.4

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])))$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) (3 \cdot 1)))$

Этап 3.6

Умножим $3$ на $1$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (\sec^{2} (3 x) \cdot 3))$

Этап 3.7

Перенесем $3$ влево от $\sec^{2} (3 x)$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (2 \tan (3 x) (3 \cdot \sec^{2} (3 x)))$

Этап 3.8

Умножим $3$ на $2$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - (6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x))$

Этап 3.9

Умножим $6$ на $- 1$ .

$6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x) - 6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$

Этап 4

Вычтем $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ из $6 \tan (3 x) \sec^{2} (3 x)$ .

$0$