Математический анализ Примеры

$\frac{50 x}{0.01 x^{2} + 1}$

Этап 1

Поскольку $50$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{50 x}{0.01 x^{2} + 1}$ по $x$ равна $50 \frac{d}{d x} [\frac{x}{0.01 x^{2} + 1}]$ .

$50 \frac{d}{d x} [\frac{x}{0.01 x^{2} + 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = 0.01 x^{2} + 1$ .

$50 \frac{(0.01 x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$50 \frac{(0.01 x^{2} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Умножим $0.01 x^{2} + 1$ на $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x \frac{d}{d x} [0.01 x^{2} + 1]}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $0.01 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [0.01 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (\frac{d}{d x} [0.01 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Поскольку $0.01$ является константой относительно $x$ , производная $0.01 x^{2}$ по $x$ равна $0.01 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.01 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.01 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $0.01$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x + \frac{d}{d x} [1])}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x + 0)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Добавим $0.02 x$ и $0$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - x (0.02 x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 3.8.2

Умножим $0.02$ на $- 1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x \cdot x}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 (x^{1} x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 (x^{1} x^{1})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x^{1 + 1}}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 7

Добавим $1$ и $1$ .

$50 \frac{0.01 x^{2} + 1 - 0.02 x^{2}}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 8

Вычтем $0.02 x^{2}$ из $0.01 x^{2}$ .

$50 \frac{- 0.01 x^{2} + 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 9

Объединим $50$ и $\frac{- 0.01 x^{2} + 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{50 (- 0.01 x^{2} + 1)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{50 (- 0.01 x^{2}) + 50 \cdot 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Умножим $- 0.01$ на $50$ .

$\frac{- 0.5 x^{2} + 50 \cdot 1}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 10.2.2

Умножим $50$ на $1$ .

$\frac{- 0.5 x^{2} + 50}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 10.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Вынесем множитель $0.5$ из $- 0.5 x^{2} + 50$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1.1

Вынесем множитель $0.5$ из $- 0.5 x^{2}$ .

$\frac{0.5 (- x^{2}) + 50}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 10.3.1.2

Вынесем множитель $0.5$ из $50$ .

$\frac{0.5 (- x^{2}) + 0.5 (100)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 10.3.1.3

Вынесем множитель $0.5$ из $0.5 (- x^{2}) + 0.5 (100)$ .

$\frac{0.5 (- x^{2} + 100)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 10.3.2

Перепишем $100$ в виде $10^{2}$ .

$\frac{0.5 (- x^{2} + 10^{2})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 10.3.3

Изменим порядок $- x^{2}$ и $10^{2}$ .

$\frac{0.5 (10^{2} - x^{2})}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 10.3.4

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 10$ и $b = x$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 x^{2} + 1)}^{2}}$

Этап 10.4

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 x^{2}$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 (x^{2}) + 1)}^{2}}$

Этап 10.4.1.2

Вынесем множитель $0.01$ из $1$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 x^{2} + 0.01 \cdot 100)}^{2}}$

Этап 10.4.1.3

Вынесем множитель $0.01$ из $0.01 x^{2} + 0.01 \cdot 100$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{(0.01 (x^{2} + 100))}^{2}}$

Этап 10.4.2

Применим правило умножения к $0.01 (x^{2} + 100)$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{{0.01}^{2} {(x^{2} + 100)}^{2}}$

Этап 10.4.3

Возведем $0.01$ в степень $2$ .

$\frac{0.5 (10 + x) (10 - x)}{0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}}$

Этап 10.5

Вынесем множитель $0.5$ из $0.5 (10 + x) (10 - x)$ .

$\frac{0.5 ((10 + x) (10 - x))}{0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}}$

Этап 10.6

Вынесем множитель $0.0001$ из $0.0001 {(x^{2} + 100)}^{2}$ .

$\frac{0.5 ((10 + x) (10 - x))}{0.0001 ({(x^{2} + 100)}^{2})}$

Этап 10.7

Разделим дроби.

$\frac{0.5}{0.0001} \cdot \frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Этап 10.8

Разделим $0.5$ на $0.0001$ .

$5000 \frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$

Этап 10.9

Объединим $5000$ и $\frac{(10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$ .

$\frac{5000 (10 + x) (10 - x)}{{(x^{2} + 100)}^{2}}$