Математический анализ Примеры

$(\frac{x^{3}}{9}) (3 \ln (x) - 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = \frac{x^{3}}{9}$ и $g (x) = 3 \ln (x) - 1$ .

$\frac{x^{3}}{9} \frac{d}{d x} [3 \ln (x) - 1] + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 \ln (x) - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 2.2

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 \ln (x)$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- 1]) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} (\frac{3}{x} + 0) + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Добавим $\frac{3}{x}$ и $0$ .

$\frac{x^{3}}{9} \cdot \frac{3}{x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.3.2

Умножим $\frac{x^{3}}{9}$ на $\frac{3}{x}$ .

$\frac{x^{3} \cdot 3}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.3.3

Перенесем $3$ влево от $x^{3}$ .

$\frac{3 \cdot x^{3}}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{3}$ .

$\frac{3 (x^{3})}{9 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.3.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9 x$ .

$\frac{3 (x^{3})}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.3.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x^{3}}{3 (3 x)} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.3.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{3}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{3 x} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Вынесем множитель $x$ из $3 x$ .

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{9}]$

Этап 4.4

Поскольку $\frac{1}{9}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x^{3}}{9}$ по $x$ равна $\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) (\frac{1}{9} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{1}{9} (3 x^{2})$

Этап 4.6

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3}{9} x^{2}$

Этап 4.6.2

Объединим $x^{2}$ и $\frac{3}{9}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2} \cdot 3}{9}$

Этап 4.6.3

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 \cdot x^{2}}{9}$

Этап 4.6.4

Сократим общий множитель $3$ и $9$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 (x^{2})}{9}$

Этап 4.6.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.6.4.2.1

Вынесем множитель $3$ из $9$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Этап 4.6.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3 \cdot 3}$

Этап 4.6.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$

Этап 5

Чтобы записать $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot \frac{3}{3}$

Этап 6

Объединим $(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3}$ и $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2}}{3} + \frac{(3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Этап 7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{x^{2}}{3} \cdot 3}{3}$

Этап 8

Объединим $3$ и $\frac{x^{2}}{3}$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Этап 9

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) \frac{3 x^{2}}{3}}{3}$

Этап 9.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} + (3 \ln (x) - 1) x^{2}}{3}$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{x^{2} + 3 \ln (x) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Этап 10.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Упростим $3 \ln (x)$ путем переноса $3$ под логарифм.

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - 1 x^{2}}{3}$

Этап 10.2.1.2

Перепишем $- 1 x^{2}$ в виде $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}}{3}$

Этап 10.2.2

Объединим противоположные члены в $x^{2} + \ln (x^{3}) x^{2} - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Вычтем $x^{2}$ из $x^{2}$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2} + 0}{3}$

Этап 10.2.2.2

Добавим $\ln (x^{3}) x^{2}$ и $0$ .

$\frac{\ln (x^{3}) x^{2}}{3}$

Этап 10.2.3

Изменим порядок множителей в $\ln (x^{3}) x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \ln (x^{3})}{3}$

Этап 10.3

Развернем $\ln (x^{3})$ , вынося $3$ из логарифма.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Этап 10.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (3 \ln (x))}{3}$

Этап 10.4.2

Разделим $x^{2} (\ln (x))$ на $1$ .

$x^{2} (\ln (x))$