Математический анализ Примеры

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 10 x^{2} - 20 x + 20$ и $g (x) = e^{- 7 x}$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = - 7 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $- 7 x$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $- 7 x$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Этап 3.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Умножим $- 7$ на $1$ .

$(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} \cdot - 7 + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Этап 3.3.2

Перенесем $- 7$ влево от $(10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x}$ .

$- 7 \cdot ((10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [10 x^{2} - 20 x + 20]$

Этап 3.4

По правилу суммы производная $10 x^{2} - 20 x + 20$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20]$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (\frac{d}{d x} [10 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Этап 3.5

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x^{2}$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (10 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Этап 3.7

Умножим $2$ на $10$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x + \frac{d}{d x} [- 20 x] + \frac{d}{d x} [20])$

Этап 3.8

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [20])$

Этап 3.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [20])$

Этап 3.10

Умножим $- 20$ на $1$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 + \frac{d}{d x} [20])$

Этап 3.11

Поскольку $20$ является константой относительно $x$ , производная $20$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20 + 0)$

Этап 3.12

Добавим $20 x - 20$ и $0$ .

$- 7 (10 x^{2} - 20 x + 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(- 7 (10 x^{2}) - 7 (- 20 x) - 7 \cdot 20) e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- 7 (10 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 20 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x - 20)$

Этап 4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 7 (10 x^{2}) e^{- 7 x} - 7 (- 20 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Этап 4.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Умножим $10$ на $- 7$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} - 7 (- 20 x) e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Этап 4.4.2

Умножим $- 20$ на $- 7$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} - 7 \cdot 20 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Этап 4.4.3

Умножим $- 7$ на $20$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) + e^{- 7 x} \cdot - 20$

Этап 4.4.4

Перенесем $- 20$ влево от $e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} + e^{- 7 x} (20 x) - 20 \cdot e^{- 7 x}$

Этап 4.4.5

Добавим $140 x e^{- 7 x}$ и $e^{- 7 x} (20 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.5.1

Перенесем $e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 140 x e^{- 7 x} + 20 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} - 20 e^{- 7 x}$

Этап 4.4.5.2

Добавим $140 x e^{- 7 x}$ и $20 x e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 160 x e^{- 7 x} - 140 e^{- 7 x} - 20 e^{- 7 x}$

Этап 4.4.6

Вычтем $20 e^{- 7 x}$ из $- 140 e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 160 x e^{- 7 x} - 160 e^{- 7 x}$

Этап 4.5

Изменим порядок членов.

$- 70 e^{- 7 x} x^{2} + 160 e^{- 7 x} x - 160 e^{- 7 x}$

Этап 4.6

Изменим порядок множителей в $- 70 e^{- 7 x} x^{2} + 160 e^{- 7 x} x - 160 e^{- 7 x}$ .

$- 70 x^{2} e^{- 7 x} + 160 x e^{- 7 x} - 160 e^{- 7 x}$