Математический анализ Примеры

$(1 + \sec (x)) \sin (x)$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = 1 + \sec (x)$ и $g (x) = \sin (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Этап 2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $1 + \sec (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Этап 4

Производная $\sec (x)$ по $x$ равна $\sec (x) \tan (x)$ .

$(1 + \sec (x)) \cos (x) + \sin (x) (\sec (x) \tan (x))$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$1 \cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 5.2

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$\cos (x) + \sec (x) \cos (x) + \sin (x) \sec (x) \tan (x)$

Этап 5.3

Изменим порядок членов.

$\cos (x) \sec (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Выразим через синусы и косинусы, затем сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $\sec (x)$ .

$\sec (x) \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Этап 5.4.1.2

Выразим $\cos (x) \sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} \cos (x) + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Этап 5.4.1.3

Сократим общие множители.

$1 + \sec (x) \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Этап 5.4.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$1 + \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) \tan (x) + \cos (x)$

Этап 5.4.3

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (x)$ .

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \tan (x) + \cos (x)$

Этап 5.4.4

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$1 + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x)$

Этап 5.4.5

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.5.1

Умножим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$1 + \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Этап 5.4.5.2

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Этап 5.4.5.3

Возведем $\sin (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Этап 5.4.5.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Этап 5.4.5.5

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Этап 5.4.5.6

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos (x)} + \cos (x)$

Этап 5.4.5.7

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} + \cos (x)$

Этап 5.4.5.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \cos (x)$

Этап 5.4.5.9

Добавим $1$ и $1$ .

$1 + \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x)$

Этап 5.5

Переведем $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ в $\tan^{2} (x)$ .

$1 + \tan^{2} (x) + \cos (x)$

Этап 5.6

Переставляем члены.

$\tan^{2} (x) + 1 + \cos (x)$

Этап 5.7

Применим формулу Пифагора.

$\sec^{2} (x) + \cos (x)$