Математический анализ Примеры

$(x^{2} - 8 x + 8) e^{\frac{9 x}{8}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} - 8 x + 8$ и $g (x) = e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{d}{d x} [e^{\frac{9 x}{8}}] + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \frac{9 x}{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\frac{9 x}{8}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ имеет вид $a^{u} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (e^{u} \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{9 x}{8}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) (e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [\frac{9 x}{8}]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $\frac{9}{8}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{9 x}{8}$ по $x$ равна $\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) e^{\frac{9 x}{8}} (\frac{9}{8} \frac{d}{d x} [x]) + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Этап 3.2

Объединим $\frac{9}{8}$ и $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [x] + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} \cdot 1 + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Этап 3.4

Умножим $x^{2} - 8 x + 8$ на $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 8 x + 8]$

Этап 3.5

По правилу суммы производная $x^{2} - 8 x + 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.7

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.9

Умножим $- 8$ на $1$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 + \frac{d}{d x} [8])$

Этап 3.10

Поскольку $8$ является константой относительно $x$ , производная $8$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8 + 0)$

Этап 3.11

Добавим $2 x - 8$ и $0$ .

$(x^{2} - 8 x + 8) \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8)$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x - 8)$

Этап 4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x^{2} \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Объединим $x^{2}$ и $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 8 x \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.2

Объединим $- 8$ и $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x \frac{- 8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.3

Умножим $9$ на $- 8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x \frac{- 72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.4

Объединим $x$ и $\frac{- 72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{x (- 72 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.5

Сократим общий множитель $- 72$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Вынесем множитель $8$ из $x (- 72 e^{\frac{9 x}{8}})$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8 (1)} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.5.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{8 (x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}))}{8 \cdot 1} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + \frac{x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}})}{1} + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.5.2.4

Разделим $x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}})$ на $1$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 8 \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.6

Объединим $8$ и $\frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.7

Умножим $9$ на $8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{72 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.8

Сократим общий множитель $72$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.1

Вынесем множитель $8$ из $72 e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.8.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.8.2.1

Вынесем множитель $8$ из $8$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8 (1)} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.8.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{8 (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8 \cdot 1} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.8.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + \frac{9 e^{\frac{9 x}{8}}}{1} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.8.2.4

Разделим $9 e^{\frac{9 x}{8}}$ на $1$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 9 e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) + e^{\frac{9 x}{8}} \cdot - 8$

Этап 4.3.9

Перенесем $- 8$ влево от $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} + x (- 9 e^{\frac{9 x}{8}}) + 9 e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}} (2 x) - 8 \cdot e^{\frac{9 x}{8}}$

Этап 4.3.10

Перенесем $e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 9 \cdot x e^{\frac{9 x}{8}} + 2 x e^{\frac{9 x}{8}} + 9 e^{\frac{9 x}{8}} - 8 e^{\frac{9 x}{8}}$

Этап 4.3.11

Добавим $- 9 x e^{\frac{9 x}{8}}$ и $2 x e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + 9 e^{\frac{9 x}{8}} - 8 e^{\frac{9 x}{8}}$

Этап 4.3.12

Вычтем $8 e^{\frac{9 x}{8}}$ из $9 e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}}$

Этап 4.4

Изменим порядок членов.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Этап 4.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Перепишем.

$\frac{x^{2} (9 e^{\frac{9 x}{8}})}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Этап 4.5.1.2

Избавимся от ненужных скобок.

$\frac{x^{2} \cdot 9 e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Этап 4.5.2

Перенесем $9$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$

Этап 4.6

Изменим порядок множителей в $\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 e^{\frac{9 x}{8}} x + e^{\frac{9 x}{8}}$ .

$\frac{9 x^{2} e^{\frac{9 x}{8}}}{8} - 7 x e^{\frac{9 x}{8}} + e^{\frac{9 x}{8}}$