Математический анализ Примеры

$x^{2} - \ln (3 x)$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $x^{2} - \ln (3 x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (3 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \ln (3 x)]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [- \ln (3 x)]$

Этап 2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \ln (3 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \ln (3 x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$ .

$2 x - \frac{d}{d x} [\ln (3 x)]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = 3 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $3 x$ .

$2 x - (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$2 x - (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $3 x$ .

$2 x - (\frac{1}{3 x} \frac{d}{d x} [3 x])$

Этап 2.3

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x - (\frac{1}{3 x} (3 \frac{d}{d x} [x]))$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 x - (\frac{1}{3 x} (3 \cdot 1))$

Этап 2.5

Умножим $3$ на $1$ .

$2 x - (\frac{1}{3 x} \cdot 3)$

Этап 2.6

Объединим $\frac{1}{3 x}$ и $3$ .

$2 x - \frac{3}{3 x}$

Этап 2.7

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Сократим общий множитель.

$2 x - \frac{3}{3 x}$

Этап 2.7.2

Перепишем это выражение.

$2 x - \frac{1}{x}$