Математический анализ Примеры

$r (t) = (t + e^{t}) (4 - \sqrt{t})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [(t + e^{t}) (4 - t^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ имеет вид $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , где $f (t) = t + e^{t}$ и $g (t) = 4 - t^{\frac{1}{2}}$ .

$(t + e^{t}) \frac{d}{d t} [4 - t^{\frac{1}{2}}] + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $4 - t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) (\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 3.2

Поскольку $4$ является константой относительно $t$ , производная $4$ относительно $t$ равна $0$ .

$(t + e^{t}) (0 + \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 3.3

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) \frac{d}{d t} [- t^{\frac{1}{2}}] + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$(t + e^{t}) (- (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 8.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 8.2.2

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [t + e^{t}]$

Этап 8.3

По правилу суммы производная $t + e^{t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ имеет вид $a^{t} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$(t + e^{t}) (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$t (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Этап 10.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Этап 10.2.2

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$- \frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Этап 10.2.3

Умножим $t$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1

Умножим $t$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.3.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$- \frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Этап 10.2.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- \frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Этап 10.2.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$- \frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Этап 10.2.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$- \frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Этап 10.2.3.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + e^{t} (- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}) + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Этап 10.2.4

Объединим $e^{t}$ и $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$

Этап 10.2.5

Чтобы записать $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2.6

Объединим $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ и $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot 2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2.7

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} + (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t}) \cdot 2}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2.8

Перенесем $2$ влево от $(4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})$ .

$\frac{- t^{\frac{1}{2}} + 2 (4 - t^{\frac{1}{2}}) (1 + e^{t})}{2} - \frac{e^{t}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$