Математический анализ Примеры

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{t - 1}$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t - 1}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ и $g (t) = t - 1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 8

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{(t - 1) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 8.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{(t - 1) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 8.3

Перенесем $t^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t - 1]}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 9

По правилу суммы производная $t - 1$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (1 + \frac{d}{d t} [- 1])}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 11

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- 1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} (1 + 0)}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 12

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 1}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 12.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{(t - 1) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.1

Объединим $t$ и $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.1.2

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ в числитель, используя правило отрицательных степеней $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.1.3

Умножим $t$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.3.1

Умножим $t$ на $t^{- \frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1.3.1.1

Возведем $t$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.1.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{t^{1 - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.1.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$\frac{\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.1.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.1.3.4

Вычтем $1$ из $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.1.4

Перепишем $- 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ в виде $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{\frac{1}{2}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.2

Чтобы записать $- t^{\frac{1}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.3

Объединим $- t^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{- t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1.1

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $t^{\frac{1}{2}} - t^{\frac{1}{2}} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.5.1.1.1

Перенесем $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.5.1.1.2

Умножим на $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.5.1.1.3

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $- 1 \cdot 2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.5.1.1.4

Вынесем множитель $t^{\frac{1}{2}}$ из $t^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + t^{\frac{1}{2}} (- 1 \cdot 2)$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - 1 \cdot 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.5.1.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (1 - 2)}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.5.1.3

Вычтем $2$ из $1$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot - 1}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.5.2

Перенесем $- 1$ влево от $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{- 1 \cdot t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.2.5.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.3.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.3.1.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}) - (\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.3.2

Чтобы записать $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.3.3

Умножим $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{2}$ на $\frac{t^{\frac{1}{2}}}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- (\frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}})}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.5.1

Умножим $t^{\frac{1}{2}}$ на $t^{\frac{1}{2}}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.5.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.3.5.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- \frac{t^{\frac{1 + 1}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.3.5.1.3

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{- \frac{t^{\frac{2}{2}} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.3.5.1.4

Разделим $2$ на $2$ .

$\frac{- \frac{t^{1} + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.3.5.2

Упростим $t^{1}$ .

$\frac{- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.4

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$

Этап 13.5

Умножим $\frac{1}{{(t - 1)}^{2}}$ на $\frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t + 1}{{(t - 1)}^{2} (2 t^{\frac{1}{2}})}$

Этап 13.6

Перенесем $2$ влево от ${(t - 1)}^{2}$ .

$- \frac{t + 1}{2 \cdot {(t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$

Этап 13.7

Изменим порядок множителей в $- \frac{t + 1}{2 {(t - 1)}^{2} t^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{t + 1}{2 t^{\frac{1}{2}} {(t - 1)}^{2}}$