Математический анализ Примеры

$\ln (\sin (t^{2}))$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = \ln (t)$ и $g (t) = \sin (t^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $\sin (t^{2})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $\sin (t^{2})$ .

$\frac{1}{\sin (t^{2})} \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Этап 2

Переведем $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ в $\csc (t^{2})$ .

$\csc (t^{2}) \frac{d}{d t} [\sin (t^{2})]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 3.2

Производная $\sin (u_{2})$ по $u_{2}$ равна $\cos (u_{2})$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $t^{2}$ .

$\csc (t^{2}) (\cos (t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{2}])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Изменим порядок множителей в $\csc (t^{2}) \cos (t^{2}) (2 t)$ .

$2 t \cos (t^{2}) \csc (t^{2})$

Этап 5.2

Выразим $\csc (t^{2})$ через синусы и косинусы.

$2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$

Этап 5.3

Умножим $2 t \cos (t^{2}) \frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{\sin (t^{2})}$ .

$t \cos (t^{2}) \frac{2}{\sin (t^{2})}$

Этап 5.3.2

Объединим $\frac{2}{\sin (t^{2})}$ и $t$ .

$\frac{2 t}{\sin (t^{2})} \cos (t^{2})$

Этап 5.3.3

Объединим $\frac{2 t}{\sin (t^{2})}$ и $\cos (t^{2})$ .

$\frac{2 t \cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Этап 5.4

Разделим дроби.

$\frac{2 t}{1} \cdot \frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$

Этап 5.5

Переведем $\frac{\cos (t^{2})}{\sin (t^{2})}$ в $\cot (t^{2})$ .

$\frac{2 t}{1} \cot (t^{2})$

Этап 5.6

Разделим $2 t$ на $1$ .

$2 t \cot (t^{2})$