Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$

Этап 1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 12 x - 8$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.1.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.1.3.3

Умножим $- 12$ на $1$ .

$6 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 8]$

Этап 1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.4.1

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8$ относительно $x$ равна $0$ .

$6 x - 12 + 0$

Этап 1.1.4.2

Добавим $6 x - 12$ и $0$ .

$f' (x) = 6 x - 12$

Этап 1.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Этап 2

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $6 x - 12 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Этап 2.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$6 x = 12$

Этап 2.3

Разделим каждый член $6 x = 12$ на $6$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим каждый член $6 x = 12$ на $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Этап 2.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Сократим общий множитель $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Этап 2.3.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Этап 2.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Разделим $12$ на $6$ .

$x = 2$

Этап 3

Значения, при которых производная равна $0$ : $2$ .

$2$

Этап 4

Найдя точку, в которой производная $f' (x) = 6 x - 12$ равна $0$ или не определена, проверим возрастание и убывание $f (x) = 3 x^{2} - 12 x - 8$ в интервале $(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$ .

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Этап 5

Подставим значение из интервала $(- \infty, 2)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 6 (1) - 12$

Этап 5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $6$ на $1$ .

$f' (1) = 6 - 12$

Этап 5.2.2

Вычтем $12$ из $6$ .

$f' (1) = - 6$

Этап 5.2.3

Окончательный ответ: $- 6$ .

$- 6$

Этап 5.3

При $x = 1$ производная имеет вид $- 6$ . Поскольку это отрицательная величина, функция убывает в диапазоне $(- \infty, 2)$ .

Убывание на $(- \infty, 2)$ , так как $f' (x) < 0$

Этап 6

Подставим значение из интервала $(2, \infty)$ в производную, чтобы определить, возрастает функция или убывает.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = 6 (3) - 12$

Этап 6.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Умножим $6$ на $3$ .

$f' (3) = 18 - 12$

Этап 6.2.2

Вычтем $12$ из $18$ .

$f' (3) = 6$

Этап 6.2.3

Окончательный ответ: $6$ .

$6$

Этап 6.3

При $x = 3$ производная имеет вид $6$ . Поскольку это положительная величина, функция возрастает в диапазоне $(2, \infty)$ .

Возрастание в области $(2, \infty)$ , так как $f' (x) > 0$

Этап 7

Перечислим интервалы, на которых функция возрастает и убывает.

Возрастание в области: $(2, \infty)$

Убывание на: $(- \infty, 2)$

Этап 8