Математический анализ Примеры

$y = \frac{1}{6} \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}$

Этап 1

Поскольку $\frac{1}{6}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{1}{6} \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}$ по $t$ равна $\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}]$ .

$\frac{1}{6} \frac{d}{d t} [{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = 1 + \cos^{2} (7 t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $1 + \cos^{2} (7 t)$ .

$\frac{1}{6} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{1}{6} (3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + \cos^{2} (7 t)$ .

$\frac{1}{6} (3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{6}$ .

$\frac{3}{6} ({(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)])$

Этап 3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим ${(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ и $\frac{3}{6}$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \cdot 3}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Этап 3.2.2

Перенесем $3$ влево от ${(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Этап 3.2.3

Сократим общий множитель $3$ и $6$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ .

$\frac{3 ({(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2})}{6} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Этап 3.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$\frac{3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Этап 3.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{3 \cdot 2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Этап 3.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [1 + \cos^{2} (7 t)]$

Этап 3.3

По правилу суммы производная $1 + \cos^{2} (7 t)$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)])$

Этап 3.4

Поскольку $1$ является константой относительно $t$ , производная $1$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (0 + \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)])$

Этап 3.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos^{2} (7 t)]$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $\cos (7 t)$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (2 u_{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $\cos (7 t)$ .

$\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (2 \cos (7 t) \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Этап 5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Объединим $2$ и $\frac{{(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2}$ .

$\frac{2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} (\cos (7 t) \frac{d}{d t} [\cos (7 t)])$

Этап 5.2

Объединим $\cos (7 t)$ и $\frac{2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (7 t) (2 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2})}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Этап 5.3

Перенесем $2$ влево от $\cos (7 t)$ .

$\frac{2 \cdot \cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Этап 5.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}}{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Этап 5.4.2

Разделим $\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2}$ на $1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \frac{d}{d t} [\cos (7 t)]$

Этап 6

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $7 t$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (\frac{d}{d u_{3}} [\cos (u_{3})] \frac{d}{d t} [7 t])$

Этап 6.2

Производная $\cos (u_{3})$ по $u_{3}$ равна $- \sin (u_{3})$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (u_{3}) \frac{d}{d t} [7 t])$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $7 t$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (7 t) \frac{d}{d t} [7 t])$

Этап 7

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $7$ является константой относительно $t$ , производная $7 t$ по $t$ равна $7 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- \sin (7 t) (7 \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 7.2

Умножим $7$ на $- 1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t) \frac{d}{d t} [t])$

Этап 7.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t) \cdot 1)$

Этап 7.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $- 7$ на $1$ .

$\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t))$

Этап 7.4.2

Изменим порядок множителей в $\cos (7 t) {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} (- 7 \sin (7 t))$ .

$- 7 {(1 + \cos^{2} (7 t))}^{2} \cos (7 t) \sin (7 t)$