Математический анализ Примеры

$y (t) = \frac{c}{b - a} \cdot (e^{- a t} - e^{- b t})$

Этап 1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $\frac{c}{b - a}$ является константой относительно $t$ , производная $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} - e^{- b t})$ по $t$ равна $\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} \frac{d}{d t} [e^{- a t} - e^{- b t}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $e^{- a t} - e^{- b t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d t} [e^{- a t}] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = e^{t}$ и $g (t) = - a t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $- a t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} \frac{d}{d t} [- a t] + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Поскольку $- a$ является константой относительно $t$ , производная $- a t$ по $t$ равна $- a \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Этап 3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + \frac{d}{d t} [- e^{- b t}])$

Этап 3.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- e^{- b t}$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [e^{- b t}]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - \frac{d}{d t} [e^{- b t}])$

Этап 4

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- b t]))$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Этап 4.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- b t$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - (e^{- b t} \frac{d}{d t} [- b t]))$

Этап 5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- b$ является константой относительно $t$ , производная $- b t$ по $t$ равна $- b \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) - e^{- b t} (- b \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 5.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + 1 e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 5.2.2

Умножим $e^{- b t}$ на $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \frac{d}{d t} [t]))$

Этап 5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} (b \cdot 1))$

Этап 5.4

Умножим $b$ на $1$ .

$\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Изменим порядок множителей в $\frac{c}{b - a} (e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b)$ .

$(e^{- a t} (- a) + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Этап 6.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) \frac{c}{b - a}$

Этап 6.3

Умножим $- e^{- a t} a + e^{- b t} b$ на $\frac{c}{b - a}$ .

$\frac{(- e^{- a t} a + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Этап 6.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- e^{- a t} a$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) + e^{- b t} b) c}{b - a}$

Этап 6.5

Вынесем множитель $- 1$ из $e^{- b t} b$ .

$\frac{(- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)) c}{b - a}$

Этап 6.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (e^{- a t} a) - (- e^{- b t} b)$ .

$\frac{- (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Этап 6.7

Перепишем $- (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ в виде $- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b)$ .

$\frac{- 1 (e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Этап 6.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$

Этап 6.9

Изменим порядок множителей в $- \frac{(e^{- a t} a - e^{- b t} b) c}{b - a}$ .

$- \frac{c (a e^{- a t} - b e^{- b t})}{b - a}$