Математический анализ Примеры

$y = \frac{t^{2} + 2}{{(2 t - 5)}^{9}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ имеет вид $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ , где $f (t) = t^{2} + 2$ и $g (t) = {(2 t - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{({(2 t - 5)}^{9})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 t - 5)}^{9})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{9 \cdot 2}}$

Этап 2.1.2

Умножим $9$ на $2$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} \frac{d}{d t} [t^{2} + 2] - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $t^{2} + 2$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t + \frac{d}{d t} [2]) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 2.4

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t + 0) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 2.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $2 t$ и $0$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{9} (2 t) - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 2.5.2

Перенесем $2$ влево от ${(2 t - 5)}^{9}$ .

$\frac{2 \cdot {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) \frac{d}{d t} [{(2 t - 5)}^{9}]}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{9}$ и $g (t) = 2 t - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 t - 5$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 9$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (9 u^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 t - 5$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - (t^{2} + 2) (9 {(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 4

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Умножим $9$ на $- 1$ .

$\frac{2 {(2 t - 5)}^{9} t - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 4.2

Вынесем множитель ${(2 t - 5)}^{8}$ из $2 {(2 t - 5)}^{9} t - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Вынесем множитель ${(2 t - 5)}^{8}$ из $2 {(2 t - 5)}^{9} t$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) - 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 4.2.2

Вынесем множитель ${(2 t - 5)}^{8}$ из $- 9 (t^{2} + 2) ({(2 t - 5)}^{8} \frac{d}{d t} [2 t - 5])$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) + {(2 t - 5)}^{8} (- 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 4.2.3

Вынесем множитель ${(2 t - 5)}^{8}$ из ${(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t) + {(2 t - 5)}^{8} (- 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{18}}$

Этап 5

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Вынесем множитель ${(2 t - 5)}^{8}$ из ${(2 t - 5)}^{18}$ .

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{8} {(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 5.2

Сократим общий множитель.

$\frac{{(2 t - 5)}^{8} (2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5]))}{{(2 t - 5)}^{8} {(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 5.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t - 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 6

По правилу суммы производная $2 t - 5$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 7

Поскольку $2$ является константой относительно $t$ , производная $2 t$ по $t$ равна $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 9

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 10

Поскольку $- 5$ является константой относительно $t$ , производная $- 5$ относительно $t$ равна $0$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) (2 + 0)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Добавим $2$ и $0$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 9 (t^{2} + 2) \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 11.2

Умножим $2$ на $- 9$ .

$\frac{2 (2 t - 5) t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(2 (2 t) + 2 \cdot - 5) t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 5 t - 18 (t^{2} + 2)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{2 (2 t) t + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1.1

Умножим $t$ на $t$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1.1.1

Перенесем $t$ .

$\frac{2 (2 (t \cdot t)) + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.4.1.1.2

Умножим $t$ на $t$ .

$\frac{2 (2 t^{2}) + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.4.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{4 t^{2} + 2 \cdot - 5 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.4.1.3

Умножим $2$ на $- 5$ .

$\frac{4 t^{2} - 10 t - 18 t^{2} - 18 \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.4.1.4

Умножим $- 18$ на $2$ .

$\frac{4 t^{2} - 10 t - 18 t^{2} - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.4.2

Вычтем $18 t^{2}$ из $4 t^{2}$ .

$\frac{- 14 t^{2} - 10 t - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.5

Вынесем множитель $2$ из $- 14 t^{2} - 10 t - 36$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.5.1

Вынесем множитель $2$ из $- 14 t^{2}$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) - 10 t - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.5.2

Вынесем множитель $2$ из $- 10 t$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t) - 36}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.5.3

Вынесем множитель $2$ из $- 36$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t) + 2 (- 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.5.4

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 7 t^{2}) + 2 (- 5 t)$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2} - 5 t) + 2 (- 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.5.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (- 7 t^{2} - 5 t) + 2 (- 18)$ .

$\frac{2 (- 7 t^{2} - 5 t - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 7 t^{2}$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2}) - 5 t - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 t$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2}) - (5 t) - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.8

Вынесем множитель $- 1$ из $- (7 t^{2}) - (5 t)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t) - 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.9

Перепишем $- 18$ в виде $- 1 (18)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t) - 1 (18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.10

Вынесем множитель $- 1$ из $- (7 t^{2} + 5 t) - 1 (18)$ .

$\frac{2 (- (7 t^{2} + 5 t + 18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.11

Перепишем $- (7 t^{2} + 5 t + 18)$ в виде $- 1 (7 t^{2} + 5 t + 18)$ .

$\frac{2 (- 1 (7 t^{2} + 5 t + 18))}{{(2 t - 5)}^{10}}$

Этап 12.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 (7 t^{2} + 5 t + 18)}{{(2 t - 5)}^{10}}$