Математический анализ Примеры

$y = \frac{e^{4 u} - e^{- 4 u}}{e^{4 u} + e^{- 4 u}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [\frac{f (u)}{g (u)}]$ имеет вид $\frac{g (u) \frac{d}{d u} [f (u)] - f (u) \frac{d}{d u} [g (u)]}{{g (u)}^{2}}$ , где $f (u) = e^{4 u} - e^{- 4 u}$ и $g (u) = e^{4 u} + e^{- 4 u}$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} - e^{- 4 u}] - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 2

По правилу суммы производная $e^{4 u} - e^{- 4 u}$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [e^{4 u}] + \frac{d}{d u} [- e^{- 4 u}]$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (\frac{d}{d u} [e^{4 u}] + \frac{d}{d u} [- e^{- 4 u}]) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d u} [f (g (u))]$ имеет вид $f' (g (u)) g' (u)$ , где $f (u) = e^{u}$ и $g (u) = 4 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $4 u$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [- e^{- 4 u}]) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ имеет вид $a^{u_{1}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (e^{u_{1}} \frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [- e^{- 4 u}]) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $4 u$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (e^{4 u} \frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [- e^{- 4 u}]) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $u$ , производная $4 u$ по $u$ равна $4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (e^{4 u} (4 \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [- e^{- 4 u}]) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (e^{4 u} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d u} [- e^{- 4 u}]) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (e^{4 u} \cdot 4 + \frac{d}{d u} [- e^{- 4 u}]) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 4.3.2

Перенесем $4$ влево от $e^{4 u}$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 \cdot e^{4 u} + \frac{d}{d u} [- e^{- 4 u}]) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 4.4

Поскольку $- 1$ является константой относительно $u$ , производная $- e^{- 4 u}$ по $u$ равна $- \frac{d}{d u} [e^{- 4 u}]$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - \frac{d}{d u} [e^{- 4 u}]) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 5

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- 4 u$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d u} [- 4 u])) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 5.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - (e^{u_{2}} \frac{d}{d u} [- 4 u])) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 5.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- 4 u$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - (e^{- 4 u} \frac{d}{d u} [- 4 u])) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 6

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $u$ , производная $- 4 u$ по $u$ равна $- 4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - e^{- 4 u} (- 4 \frac{d}{d u} [u])) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 6.2

Умножим $- 4$ на $- 1$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u} \frac{d}{d u} [u]) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 6.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u} \cdot 1) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 6.4

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) \frac{d}{d u} [e^{4 u} + e^{- 4 u}]}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 6.5

По правилу суммы производная $e^{4 u} + e^{- 4 u}$ по $u$ имеет вид $\frac{d}{d u} [e^{4 u}] + \frac{d}{d u} [e^{- 4 u}]$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (\frac{d}{d u} [e^{4 u}] + \frac{d}{d u} [e^{- 4 u}])}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 7

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{3}$ как $4 u$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [e^{- 4 u}])}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 7.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ имеет вид $a^{u_{3}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [e^{- 4 u}])}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 7.3

Заменим все вхождения $u_{3}$ на $4 u$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (e^{4 u} \frac{d}{d u} [4 u] + \frac{d}{d u} [e^{- 4 u}])}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 8

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Поскольку $4$ является константой относительно $u$ , производная $4 u$ по $u$ равна $4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (e^{4 u} (4 \frac{d}{d u} [u]) + \frac{d}{d u} [e^{- 4 u}])}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 8.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (e^{4 u} (4 \cdot 1) + \frac{d}{d u} [e^{- 4 u}])}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 8.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (e^{4 u} \cdot 4 + \frac{d}{d u} [e^{- 4 u}])}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 8.3.2

Перенесем $4$ влево от $e^{4 u}$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (4 \cdot e^{4 u} + \frac{d}{d u} [e^{- 4 u}])}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 9

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{4}$ как $- 4 u$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + \frac{d}{d u_{4}} [e^{u_{4}}] \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 9.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{4}} [a^{u_{4}}]$ имеет вид $a^{u_{4}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + e^{u_{4}} \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 9.3

Заменим все вхождения $u_{4}$ на $- 4 u$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + e^{- 4 u} \frac{d}{d u} [- 4 u])}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 10

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $u$ , производная $- 4 u$ по $u$ равна $- 4 \frac{d}{d u} [u]$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + e^{- 4 u} (- 4 \frac{d}{d u} [u]))}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 10.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + e^{- 4 u} (- 4 \cdot 1))}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 10.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Умножим $- 4$ на $1$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + e^{- 4 u} \cdot - 4)}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 10.3.2

Перенесем $- 4$ влево от $e^{- 4 u}$ .

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) - (e^{4 u} - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 \cdot e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Развернем $(e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{4 u} (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{4 u} (4 e^{4 u}) + e^{4 u} (4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u} + 4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{e^{4 u} (4 e^{4 u}) + e^{4 u} (4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{4 u} e^{4 u} + e^{4 u} (4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.2

Умножим $e^{4 u}$ на $e^{4 u}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1.2.1

Перенесем $e^{4 u}$ .

$\frac{4 (e^{4 u} e^{4 u}) + e^{4 u} (4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 e^{4 u + 4 u} + e^{4 u} (4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.2.3

Добавим $4 u$ и $4 u$ .

$\frac{4 e^{8 u} + e^{4 u} (4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{8 u} + 4 e^{4 u} e^{- 4 u} + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.4

Умножим $e^{4 u}$ на $e^{- 4 u}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1.4.1

Перенесем $e^{- 4 u}$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 4 (e^{- 4 u} e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 e^{8 u} + 4 e^{- 4 u + 4 u} + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.4.3

Добавим $- 4 u$ и $4 u$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 4 e^{0} + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.5

Упростим $4 e^{0}$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 4 + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{8 u} + 4 + 4 e^{- 4 u} e^{4 u} + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.7

Умножим $e^{- 4 u}$ на $e^{4 u}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1.7.1

Перенесем $e^{4 u}$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 4 + 4 (e^{4 u} e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 e^{8 u} + 4 + 4 e^{4 u - 4 u} + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.7.3

Вычтем $4 u$ из $4 u$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 4 + 4 e^{0} + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.8

Упростим $4 e^{0}$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 4 + 4 + e^{- 4 u} (4 e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.9

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{8 u} + 4 + 4 + 4 e^{- 4 u} e^{- 4 u} + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.10

Умножим $e^{- 4 u}$ на $e^{- 4 u}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1.10.1

Перенесем $e^{- 4 u}$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 4 + 4 + 4 (e^{- 4 u} e^{- 4 u}) + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.10.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 e^{8 u} + 4 + 4 + 4 e^{- 4 u - 4 u} + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.1.10.3

Вычтем $4 u$ из $- 4 u$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 4 + 4 + 4 e^{- 8 u} + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} + (- e^{4 u} - - e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- - e^{- 4 u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} + (- e^{4 u} + 1 e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.3.2

Умножим $e^{- 4 u}$ на $1$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} + (- e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.4

Развернем $(- e^{4 u} + e^{- 4 u}) (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - e^{4 u} (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - e^{4 u} (4 e^{4 u}) - e^{4 u} (- 4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u} - 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - e^{4 u} (4 e^{4 u}) - e^{4 u} (- 4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 1 \cdot 4 e^{4 u} e^{4 u} - e^{4 u} (- 4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.2

Умножим $e^{4 u}$ на $e^{4 u}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1.2.1

Перенесем $e^{4 u}$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 1 \cdot 4 (e^{4 u} e^{4 u}) - e^{4 u} (- 4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 1 \cdot 4 e^{4 u + 4 u} - e^{4 u} (- 4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.2.3

Добавим $4 u$ и $4 u$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 1 \cdot 4 e^{8 u} - e^{4 u} (- 4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} - e^{4 u} (- 4 e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} - 1 \cdot - 4 e^{4 u} e^{- 4 u} + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.5

Умножим $e^{4 u}$ на $e^{- 4 u}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1.5.1

Перенесем $e^{- 4 u}$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} - 1 \cdot - 4 (e^{- 4 u} e^{4 u}) + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.5.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} - 1 \cdot - 4 e^{- 4 u + 4 u} + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.5.3

Добавим $- 4 u$ и $4 u$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} - 1 \cdot - 4 e^{0} + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.6

Упростим $- 1 \cdot - 4 e^{0}$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} - 1 \cdot - 4 + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.7

Умножим $- 1$ на $- 4$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 4 + e^{- 4 u} (4 e^{4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.8

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 4 + 4 e^{- 4 u} e^{4 u} + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.9

Умножим $e^{- 4 u}$ на $e^{4 u}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1.9.1

Перенесем $e^{4 u}$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 4 + 4 (e^{4 u} e^{- 4 u}) + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 4 + 4 e^{4 u - 4 u} + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.9.3

Вычтем $4 u$ из $4 u$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 4 + 4 e^{0} + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.10

Упростим $4 e^{0}$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 4 + 4 + e^{- 4 u} (- 4 e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.11

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 4 + 4 - 4 e^{- 4 u} e^{- 4 u}}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.12

Умножим $e^{- 4 u}$ на $e^{- 4 u}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.5.1.12.1

Перенесем $e^{- 4 u}$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 4 + 4 - 4 (e^{- 4 u} e^{- 4 u})}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.12.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 4 + 4 - 4 e^{- 4 u - 4 u}}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.1.12.3

Вычтем $4 u$ из $- 4 u$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 4 + 4 - 4 e^{- 8 u}}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.1.5.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 8 - 4 e^{- 8 u}}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.2

Объединим противоположные члены в $4 e^{8 u} + 8 + 4 e^{- 8 u} - 4 e^{8 u} + 8 - 4 e^{- 8 u}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $4 e^{8 u}$ из $4 e^{8 u}$ .

$\frac{8 + 4 e^{- 8 u} + 0 + 8 - 4 e^{- 8 u}}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.2.2

Добавим $8 + 4 e^{- 8 u}$ и $0$ .

$\frac{8 + 4 e^{- 8 u} + 8 - 4 e^{- 8 u}}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.2.3

Вычтем $4 e^{- 8 u}$ из $4 e^{- 8 u}$ .

$\frac{8 + 0 + 8}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.2.4

Добавим $8$ и $0$ .

$\frac{8 + 8}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$

Этап 11.2.3

Добавим $8$ и $8$ .

$\frac{16}{{(e^{4 u} + e^{- 4 u})}^{2}}$